两类变阶分数阶扩散方程数值求解

摘要

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广，它能非常有效地模拟物质的记忆和遗传性质。近几十年来，分数阶微分方程被广泛地应用于很多科学工程领域，如物理、金融、水文学等。许多学者通过特殊函数构造了大量的分数阶微分方程的解析解，但是大多数特殊函数的形式非常复杂、计算量很大，使得求解分数阶微分方程面临着严峻的困难。这时，数值求解分数阶微分方程具有重要的实际意义。
　　本文所作工作如下：
　　1）针对一类如下的二维变阶变系数对流扩散方程
　　u(x,y,t)t=c(x,y,t)α(x,y,t)u(x,y,t)xα(x,y,t)+d(x,y,t)1+α(x,y,t)u(x,y,t)x1+α(x,y,t)+e(x,y,t)β(x,y,t)u(x,y,t)yβ(x,y,t)+g(x,y,t)1+β(x,y,t)u(x,y,t)y1+β(x,y,t).
　　分别提出数值求解该方程的显式有限差分格式和隐式有限差分格式，并运用能量方法证明了显式格式是条件稳定和收敛的，而隐式格式是无条件稳定和收敛的。
　　2）针对如下变时间分数阶扩散方程
　　0Dα(x,t)t u(x,t)=2u(x,t)x2+f(x,t),(x,t)∈=[0,L]×[0,T].
　　构造了数值求解该方程的隐式有限差分格式，并讨论了该格式的稳定性和收敛性，证明了该格式是无条件稳定和收敛的，且具有一阶时间精确度。
　　也进行了一定量的数值实验，其结果进一步验证了算法的有效性和理论分析的正确性。

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第一章 绪 论

§1.1 预备知识

§1.2 空间分数阶对流扩散方程

§1.3 时间分数阶扩散方程

第二章 二维空间变阶变系数对流扩散方程数值求解

§2.1 问题的陈述和数值方法

§2.2 显式格式的稳定性和收敛性

§2.3 隐式格式的稳定性和收敛性

§2.4 数值算例

第三章 变时间分数阶扩散方程数值求解

§3.1 问题的陈述和数值方法

§3.2 隐式格式的稳定性和收敛性

§3.3 数值算例

结论与展望

参考文献

致谢