半经典量子动力系统的数值方法

摘要

薛定谔方程是量子力学的一个基本方程,它将物质波与波动方程相结合,描述了微观物质在空间中具有概率分布特征的运动状态.薛定谔方程也是量子力学的一个基本假设,其正确性只能通过实验证实.半经典量子力学处于经典物理和量子物理之间,一方面它保留了经典力学中关于物体运行轨迹的思想,另一方面它的可观测物理量依然在空间中表现出了概率特征.从数学方程的角度上来看,半经典薛定谔方程的解具有局部高振荡特征,这给它的理论研究和数值计算都带来了困难.
　　本文主要考虑三类问题,即半经典线性薛定谔方程,亚临界情形的半经典非线性薛定谔方程和超临界情形的半经典非线性薛定谔方程.通过一个微分同胚,可以将原问题转化为修改的薛定谔方程,这样的同胚变换,既可以降低波函数的振荡频率,又可以大大减慢波包在空间中移动速度,从而有利于半经典薛定谔方程数值求解.然后,对于三类不同问题所导出的修改方程,我们给出了三种数值求解方法.
　　对于半经典线性薛定谔方程,我们在第三章给出了改进的Hagedorn波包方法,构造了与参数相关的简化Hagedorn基函数,并对修改的薛定谔方程进行空间半离散.关于时间方向的计算,我们对已有的算法做了两方面的改进.一方面采用了多时间步长计算的技巧,即用小时间步长计算参数方程,用大时间步长计算系数方程.通过不同时间步长的计算,可以达到半经典尺度常数越小,而数值解精度越高的效果.另一方面,我们在多时间步长计算的基础上,采用Magnus展开方法构造了求解系数方程的高阶数值格式.
　　在第四章,对于亚临界情形的半经典非线性薛定谔方程,在空间离散中依然用到了简化的Hagedorn基函数和多时间步长的计算技巧,并且将这种空间半离散方式与分裂拟谱方法的思想结合,给出了基函数所对应的配置点和离散变换矩阵,并由此构造了时间分裂型的波包方法.
　　对于超临界情形的半经典非线性薛定谔方程,它的几何性质比前两种情形更复杂,目前没有很好的解析方法来对其进行研究.在第五章,我们利用插值小波方法构造自适应网格,并用基于小波自适应网格的时间分裂有限差分方法求解修改方程.从数值结果中可以看到,小波自适应网格上的数值方法与一致网格上的数值方法相比,其计算效率得到了明显的提高.

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第一章 引言

第二章 预备知识

§2.1 常用记号

§2.2 薛定谔方程的数学理论

§2.3 求解薛定谔方程的常用数值方法

第三章 用改进的Hagedorn波包方法求解半经典线性薛定谔方程

§3.1 简化的 Hagedorn 基函数

§3.2 时间方向的计算

§3.3 数值实验

第四章 求解亚临界情形半经典非线性薛定谔方程的分裂波包方法

§4.1 亚临界情形一维半经典非线性薛定谔方程

§4.2 波包算子和空间基函数

§4.3 分裂拟谱方法的构造

§4.4 数值实验

§4.5 多维问题的处理

第五章 基于小波自适应网格的有限差分方法

§5.1 超临界情形一维半经典非线性薛定谔方程

§5.2 利用插值小波方法生成自适应网格

§5.3 小波自适应网格上的有限差分方法

§5.4 数值实验

总结与展望

参考文献

后记

个人简历

攻读博士学位期间已发表和完成的论文