交替迭代法求解稳态的哈密顿雅可比方程

摘要

本文中，我们提出了新的求解稳态Hamilton-Jacobi方程的方法，即Alternating evolution(AE)法。为了克服求解Hamilton-Jacobi方程的非线性性以及在多个解中准确的求解粘性解的问题，我们首先基于交替迭代法刻化最初的Hamilton-Jacobi方程，接着构造多项式来逼近Hamilton-Jacobi方程，然后选取合适的迭代方法以及正确的边界条件进行求解。本文中，在进行迭代格式的构造时，会产生一个人工参数ε，该参数的选择影响到迭代格式的稳定性和收敛性。所以在文章第三章中，我们给出了一维问题中一阶AE格式的稳定性和收敛性分析，二阶AE格式的稳定性分析，以及二维问题中一阶AE格式的稳定性分析。我们选择代表性的数值算例，验证了AE方法在求解稳态Hamilton-Jacobi方程中的精确性和易操作性。我们还将该方法应用于动力学所推导出的Hamilton-Jacobi方程且Hamiltonian由相空间的一个积分所给出的情况中，并且在文章中给出具体算法以及数值算例。

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第一章 绪 论

§1.1 Hamilton-Jacobi 方程理论与应用研究的概述

§1.1.1 应用背景介绍

§1.2 Hamilton-Jacobi方程数值方法研究的概述

§1.2.1 求解Hamilton-Jacobi方程数值方法介绍

§1.2.2 预备知识

§1.3 本文的主要研究结果

第二章 解一维稳态Hamilton-Jacobi方程的AE方法

§2.1 引言

§2.2 一维稳态HJ方程的AE系统构造

§2.3 算法概述

§2.4 边界条件

第三章 稳定性和收敛性分析

§3.1 一阶AE格式的稳定性和收敛性

§3.2 二阶AE格式稳定性分析

§3.3 二维AE格式稳定性分析

第四章 AE方法应用于显式Hamiltonian

§4.1 简介

§4.2 数值算例

第五章 AE方法应用于隐式Hamiltonian

§5.1 应用背景简介

§5.2 数值算例

总结与展望

参考文献

致谢