有理Bezier曲线的降阶逼近问题

摘要

计算机辅助几何设计(简称CAGD)主要是研究在计算机中曲线曲面的表示、逼近、计算，是一门发展迅速的交叉性极强的学科，涉及到逼近论、数值计算、微分几何、代数几何、拓扑学等数学方面的理论知识。因为CAGD的实际应用功能十分强大，因此它又与工程方面的学科有着密不可分的联系，如计算机图形学、数据结构、计算机语言等工程学科。
　　 随着计算机技术不断地深入研究和发展，高速大型和并行计算机的发展和强大图形显示等功能为曲线和曲面的数学模型在计算机辅助几何设计与计算机辅助制造的应用提供了快速实现的基础和条件。由于目前不同系统的曲线曲面次数不完全相同，那么对于不同系统之间的数据传递和共享变得很困难，为了能够在不同的系统之间实现便捷、有效地进行数据传输，一般是通过升降阶的方法来达到预期效果，但是在实际应用中大多数系统是对有效性的考虑排在首位，并且曲线曲面升阶后会使系统变得不稳定，因此时常采用的是将高次的曲线曲面进行降阶逼近处理。参数曲线曲面降阶问题在实际工程中的广泛应用性和必要性，使得此问题成为了众多学者目前重点研究内容之一。
　　 本文主要是对有理Bézier曲线的一次降多阶问题进行了讨论，首先简单介绍了有理Bézier曲线降阶逼近在实际应用中的重要意义，其次介绍了有理Bézier曲线的相关知识，并且描述了需要解决的降阶问题。本文的核心内容是将降阶问题转化到齐次空间中讨论，把非线性问题转化成线性问题，然后采用最佳平方逼近法来求解此问题，这个算法的计算过程简单方便，并且结果稳定，能快速地求解出未知系数。通过此算法与有理Bézier曲线相结合，能快速有效地实现有理Bézier曲线一次降多阶，并加入保端点的条件，能达到保端点降阶的效果，误差小，逼近效果好。最后，通过实例计算实验实现了预期的效果和目的，这一算法的应用对有理Bézier曲线一次降多阶的实现有重要的意义。