平均有理逼近解非线性边值问题

摘要

在许多实践问题中，事物都是以非线性的形式出现的.作为非线性逼近的一种重要特殊形式，有理逼近无论在实践还是在生活中都有着重要的特殊意义.它能解决传统逼近方法的不收敛性和不稳定性，是一个重要且具有强大生命力的课题.
　　传统的逼近方法有Taylor展开、Padé逼近、插值逼近和多项式逼近，但它们都有各自的缺点:Taylor展开在展开点附近有很高的精度，在较远的地方效果很差;Padé逼近利用了Taylor展开，同时也伴随了它的缺点;Lagrange插值逼近，一般地说其精度较好，这是现在使用较多的方法，但在有限区间上，当函数的曲率变化较大时逼近精度可能很差，例如Rung现象;多项式逼近应用较多，逼近效果也不错.本文是在文[35]的基础上，继续探讨一种比多项式逼近效果更好的逼近方法-平均有理逼近.
　　在函数大范围逼近中，平均有理逼近的效果要比多项式的逼近效果好很多.当函数变化比较剧烈时，常用的多项式逼近精度不是很高.在文[35]的基础上，首先，探讨了有界区域上的线性边值问题和非线性边值问题，基于变分极小化原理得到相应的二次泛函，将问题转化为求解一个非线性方程组，运用Newton迭代进行求解;其次，探讨了无穷实数域上的一维非线性Schr(o)dinger方程，用带有新基e-kx的有理逼近形式来逼近真解.

目录

摘要

1 引言

2 最佳平均有理逼近

2．1 预备知识

2．2 最佳平均有理逼近的算法分析

2．3 数值例子比较及分析

3 规定边值的最佳平均有理逼近

3．1 规定边值的LS方法算法分析

3．2 数值例子比较及分析

3．3 规定边值的最佳平均有理逼近算法分析

3．4 数值例子比较及分析

4 线性边值问题

4．1 规定边值的LS方法解线性边值问题

4．2 数值例子比较及分析

4．3 平均有理逼近解线性边值问题

4．4 数值例子比较及分析

5 有界区域上非线性边值问题

5．1 规定边值的LS方法解非线性边值问题

5．2 数值例子比较及分析

5．3 平均有理逼近解非线性边值问题

5．4 数值例子比较及分析

6 无穷区域上非线性边值问题

6．1 简单的逼近形式

6．2 数值例子比较及分析

6．3 平均有理逼近形式

7 总结及一些后续工作

参考文献

致谢

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