电磁场方程的间断有限元方法

摘要

本文分为以下两个部分：第一部分研究求解双负媒质和Cole-Cole媒质中麦克斯韦方程组的间断有限元方法。第二部分研究求解两点边值问题的平均间断有限元方法(ADG)的超收敛性质以及麦克斯韦方程组的平均间断有限元方法的收敛性。全文共六章。
　　第一章，主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果。
　　第二章，转向研究有损耗的Drude模型描述的双负媒质。我们用一个积分微分方程来概括描述电磁波在其中传播规律的物理模型，并构造了时间隐格式DG方法来求解这种模型。理论分析和数值结果均表明:这种隐格式DG方法是无条件稳定的，且在L2范数意义下具有O(τ2+hk+1/2)的收敛速度。
　　第三章，将研究三种双负媒质模型，即:有损耗的Drude模型、Pla-sma-Lorentz模型、Lorentz模型。针对描述电磁波在其中传播规律的物理模型，我们首先给出了相应的数学模型，并指出了这些数学模型的相似之处。其次，构造了求解这些数学模型的时间连续有限元空间间断有限元(CG-DG)格式，并证明了这种CG-DG方法的无条件稳定性，且在L2范数的意义具有O(τk+1+hk+1/2)的收敛阶。最后，通过2维与3维数值算例验证了理论的正确性。
　　第四章，研究了一种更为复杂的色散媒质，即Cole-Cole媒质。这种媒质的复杂之处在于:描述电磁波在其中传播规律的数学模型中含有分数阶导数项。针对这种这一模型，我们构造了一种隐格式DG方法来求解这种数学模型。数值结果表明:这种数值格式是无条件稳定的，且具有O(τ2-α+hk+1/2)的收敛阶。
　　第五章，研究求解两点边值问题的平均间断有限元方法的超收敛性质。首先，基于局部间断有限元方法(LDG)提出了平均间断有限元方法且用其来求解两点边值问题。其次，证明了k次（k为偶数时）平均间断有限元方法具有k+1阶的收敛性，而且其通量在节点上具有2k+2的超收敛阶，这是目前所知道的间断有限元方法中通量的最高超收敛阶。最后，用数值实验证明了理论的正确性。
　　第六章，研究了真空中的时域麦克斯韦方程组的隐格式平均间断有限元方法。证明了:k次（k为偶数时）平均间断有限元方法具有k+1阶的收敛性;k次（k为奇数时）平均间断有限元方法具有七阶的收敛性。最后，用数值实验验证了理论的正确性。

目录

摘要

第一章 绪论

§1．1 间断有限元方法简介

§1．2 双负媒质中麦克斯韦方程组的DG方法介绍

§1．3 Cole-Cole色散媒质中的麦克斯韦方程组

§1．4 平均间断有限元方法的收敛性与超收敛性质

第二章 隐格式DG方法求解双负媒质中的麦克斯韦方程组

§2．1 模型问题

§2．2 数值格式

§2．3 L2稳定性分析

§2．4 L2误差估计

§2．5 数值算例

第三章 双负媒质中麦克斯韦方程组的CG-DG方法

§3．1 模型问题

§3．2 数值格式

§3．3 L2稳定性分析

§3．4 误差估计

§3．5 数值结果

第四章 Cole-Cole媒质中电磁场方程的DG方法

§4．1 Cole-Cole媒质中的电磁场方程

§4．2 数值格式

§4．3 数值算例

第五章 两点边值问题平均间断有限元方法的最高超收敛性分析

§5．1 数值格式及其稳定性

§5．2 勒让德正交展开

§5．3 L2误差分析

§5．4 节点通量误差的格林函数表示

§5．5 最高阶超收敛性的证明

§5．6 数值算例

第六章 麦克斯韦方程组的平均间断有限元方法

§6．1 模型问题

§6．2 数值格式

§6．3 能量守恒性质

§6．4 L2误差分析

§6．5 数值算例

第七章 总结和未来工作展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成的论文

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