一类矩阵方程的约束极小范数最小二乘解

摘要

线性矩阵方程(组)的求解问题是数值代数的重要研究领域之一．它在生物学、电学、光子光谱学、振动理论、有限元、结构设计、固体力学、参数识别、自动控制理论、线性最优控制等领域都有重要应用． 本硕士论文系统地研究了一类矩阵方程的几类约束极小范数最小二乘问题．具体描述如下： 问题I：给定A∈Rm×n， B∈Rnx8， C∈Rm×k， D∈Rk×和E∈R,nx8，求X∈S1 Rn×n， y∈S2 Rk×k使得‖AXB＋CYB—E‖=min，其中‖.‖Frobenius 范数，以下同． 问题II：设问题I的解集合为SE，求[X ，Y ]∈SE使得‖X ‖2＋‖Y ‖2＝min[X,Y]∈SE(‖X‖2＋‖Y‖2在本文中，我们主要研究了当S1，S2均分别为Toeplitz矩阵、生成元约束下的Toeplitz矩阵、循环矩阵、生成元约束下的循环矩阵、Hankel矩阵、生成元约束下的Hankel矩阵集合时问题i.II的解． 对于求线性矩阵方程在约束矩阵集合上的最小二乘解，许多文献利用传统的矩阵分解方法或巧妙地运用广义奇异值分解(GSVD)、商奇异值分解(QSVD)、标准相关分解(CCD)等矩阵分解的方法得到了它们的通解表达式．近几年来，有一系列文献基于有限维内积空间的正交投影定理，同时运用GSVD和CCD这两个矩阵分解方法求出了它们的极小范数最小二乘解．但是利用这些矩阵分解的方法似乎很难求出问题I，II中矩阵方程AXB＋CYD=E在约束矩阵(例如Toeplitz矩阵)集合上的极小范数最小二乘解．于是我们利用矩阵的Moore-Penrose广义逆，Kronecker积和拉直算子，结合约束矩阵的基矩阵，将问题I中约束矩阵方程最小二乘问题化成无约束最小二乘问题，并得到了相应的最小二乘解的通解表达式，并由此求出它的极小范数最小二乘解．

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文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1课题的研究意义与发展概况

1.2本文研究的问题及主要工作

1.3本文常用的引理

1.4本文所用的记号

第2章矩阵方程AXB+CYD=E的Toeplitz极小范数最小二乘解

2.1矩阵方程AXB+CYD=E的Toeplitz极小范数最小二乘解

2.2生成元约束下矩阵方程AXB+CYD=E的Toeplitz极小范数最小二乘解

第3章矩阵方程AXB+CYD=E的循环极小范数最小二乘解

3.1矩阵方程AXB+CYD=E的循环极小范数最小二乘解

3.2生成元约束下矩阵方程AXB+CYD=E的循环极小范数最小二乘解

第4章矩阵方程AXB+CYD=E的Hankel极小范数最小二乘解

4.1矩阵方程AXB+CYD=E的Hankel极小范数最小二乘解

4.2生成元约束下矩阵方程AXB+CYD=E的Hankel极小范数最小二乘解

结论

参考文献

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