复双曲几何中三角群的分类与形变

摘要

本文主要研究了在n1=10,11,12,13时复双曲三角群(n1,n2,n3)(n1≤n2≤n3)的分类。复双曲三角群(n1,n2,n3)是由三个分别固定复测地线C1,C2,C3的二阶复反射I1,I2,I3生成的复双曲等距群,其中Gk和Ck+1相交的夹角为π/nk。我们假定初始嵌入为R—Fuchsian嵌入,对于每一个三元组(n1,n2,n3),都对应一族单参数的复双曲三角群。在形变过程中,若WA比WB先变为椭圆,则(n1,n2,n3)是Type A的,否则是Type B的,其中WA=I3I2I1I2,WB=I1I2I3.我们已经知道当n1<10时,(n1,n2,n3)为Type A,而当n1>13时为Type B.当n1=10,11,12,13时,情况变得非常复杂,此时(n1,n2,n3)的类型还与n2,n3的取值有关。于是,我们先固定n1分别为10,11,12,13,然后用一条直线从内部逼近Goldman扭线,并用该直线和形变曲线的交点取代Goldman扭线和形变曲线的交点。通过比较验证,我们得出:当n2分别大于30,19,16,14时,(n1,n2,n3)是Type B的。接下来,我们对余下的有限的n2进行逐一判断,即固定n1和n2.然而,此时的n3却是无限的,故我们研究了判断函数关于n3的单调性。因此,通过对有限的情况进行判断,我们得到了余下的(n1,n2,n3)的类型。
　　 本文还研究了(2,4,∞)型三角群在复双曲几何中的形变问题.我们假定初始离散嵌入为C—Fuchsian嵌入,并且三角群的生成元为三个关于Lagrangian平面的反射。本文详细考虑了(2,4,∞)三角群表示空间中一个非平凡分支,通过构造基本域的方法,得到了一个离散忠实的表示区间。