Hamilton-Jacobi方程与对流扩散方程的新算法

摘要

本文研究Hamilton-Jacobi方程和对流扩散方程的一些新的数值解法,建立这些方法的稳定性和收敛性,并通过大量的数值实验对所提出的算法进行检验.
　　 在第2章基于单调数值通量和导数的分片线性重构,我们构造了一种差分格式-MUSCL格式求解发展型的Hamilton-Jacobi方程,并且证明了在一维情形下MUSCL格式具有TVB(Total Variational Bounded)稳定性.我们还进行了大量的数值实验,结果表明MUSCL格式具有二阶精度,而且产生的数值解没有出现伪振荡,在类似于角点的间断处有很好的分辨率.
　　 第3章,我们提出了一种求解任意维数的静态Hamilton-Jacobi方程的松弛型Lax-Friedrichs扫描方法(RLxFSM),该方法是LxFSM格式的一种推广并包含LxFSM格式作为其特殊情形.我们在RLxFSM格式中,采用SOR迭代取代LxFSM格式中的Gauss-Seidel迭代,当松弛因ω=1时即为原来的LxFSM格式.我们证明RLxFSM格式拥有著名的快速扫描算法[83]的一些重要基本性质,如非增性和单调性以及保序性.同时RLxFSM格式继承了LxFSM格式的最大优点,可以处理凸和非凸的Hamiltonian,不管它们是否可微.我们的大量数值实验表明当ω略大于1时RLxFSM格式的迭代次数显著减少.
　　 第4章我们提出了一种LDG(Local Discontinuous Galerkin)和CFEM(ConformingFinite Element Method)相结合的方法求解对流扩散方程,我们称之为LDG/CFEM耦合方法.其基本思想是将整个求解区域分为两个不重叠的子区域,利用LDG和CFEM算法的优点,在解变化较快的区域采用LDG方法,在解较光滑的区域采用CFEM方法.LDG/CFEM耦合方法继承了LDG方法有较好的稳定性的特点,同时也拥有CFEM方法计算量较小的优点.我们在拟一致网格上建立了该方法的稳定性和收敛性的理论,并导出了在相应DG范数下的收敛率为(Ο)(ε1/2+h1/2)hk),其中h为网格尺寸,k为多项式的次数.我们的数值结果验证了本文理论结果的最优性.尽管在本章我们只针对LDG这种特殊情形分析了DG与CFEM耦合方法的稳定性和收敛性,但是本章所用的分析方法可以用于分析所有包含在Arnold etal[106]一致分析框架下其它的DG与CFEM相耦合的方法.
　　 第5章我们进一步研究第4章提出的L,DG/CFEM耦合方法在Shishkin网格上求解一维对流扩散型奇异摄动问题的稳定性和一致收敛性.对于线性元情形,我们提出了一个比较简单的方法证明一致收敛性.即我们不需要采用解的分解技巧,这是一般方法在层自适应网格上证明一致收敛性所必需的.基于Tobiska在文献[91]中介绍的插值算子,我们首次证明了LDG/CFEM耦合方法高阶元的一致收敛性.对k≥1元在相应DG范数下的一致收敛率为(Ο)(N-kInkN),其中N为Shishkin网格的自由度.数值算例验证了理论结果的正确性.
　　 第6章我们进一步研究第4章提出的LDG/CFEM耦合方法在Shishkin网格上求解二维对流扩散型奇异摄动问题的稳定性和一致收敛性.由于Tobiska的插值算子不易推广到二维情形,所以本章只能证明双线性元的一致收敛性,我们得到了在相应DG范数下的一致收敛率为(Ο)(N-1 InN).我们的数值结果验证了理论结果的正确性,还表明该方法在L2范数下有最优的一致收敛性,即在L2范数下的收敛率为(Ο)(N-2).