Z-连续偏序集理论中几个问题的研究

摘要

产生于上世纪70年代初期的论域理论是理论计算机科学的一个重要领域,旨在为计算机函数式语言的研究奠定数学基础.序和拓扑的相互结合、相互作用是这一理论的基本特征.正是这一特征使得论域理论成为理论计算机科学与拓扑学研究者共同感兴趣的领域;也使这一理论与许多数学学科产生了密切的联系.论域理论一经形成,就引起了人们广泛的兴趣.它处于数学、逻辑和理论计算机科学等学科的交汇处,是比较活跃的研究领域.本文将对论域理论,特别是Z-连续偏序集理论作进一步的探讨.
　　 首先,总结了论域和Z-连续偏序集的相关概念和性质,并加以补充.主要是讨论了Z-并理想格的性质,以及子集系统意义下的Z-代数交结构和Z-代数闭包算子的性质和联系.一个Z-代数闭包算子可以生成一个带顶元的Z-代数交结构.反之,一个Z-代数交结构也可以生成一个Z-代数闭包算子.进一步,每个带顶元的Z-代数交结构都是Z-代数格,且每个Z-代数格都同构于带顶元的Z-代数交结构.此外,在连续格中引入拟紧元、拟基以及特殊拟基的概念,在研究了它们的基本性质的基础上,利用特殊拟基给出了一个构造算术格的方法,得到了如果B是连续格L的一个特殊拟基,则B的所有圆理想赋予包含序后所得的偏序集是一个算术格.进一步,利用某个集合的满足一定条件的子集族来刻画连续格、代数格以及算术格,从而给出了它们的一个表示定理.
　　 其次,在与拓扑理论相结合方面,一部分,说明了偏序集P上的下极限收敛类生成的拓扑恰好是其上的Scott拓扑,得到了下极限收敛关于Scott拓扑是可拓扑化的当且仅当P是连续的.并利用下极限收敛的概念来刻画任意偏序集的交连续性,借助于下极限收敛和拓扑之间的联系来研究交连续的偏序集的一些拓扑性质,从而加强了交连续的偏序集的序理论性质和拓扑性质之间的联系.另一部分,区别于以往仅仅用拓扑理论来研究连续映射的扩张问题的方法,我们利用序理论通过拓扑空间的闭集格来研究连续映射的扩张问题,给出了从稠密子空间到T3-空间的连续映射连续扩张到整个空间的充要条件.
　　 再次,在与代数理论相结合方面,我们研究了元素的分解和Z-代数性之间的关系,引入Z-有限性和Z-可加性来研究完备格中元素的分解,有限分解以及有限分解的唯一性,给出了偏序集中的元素可以分解的充要条件并利用Z-并理想格的性质来刻画偏序集中元素的分解,证明了如果Z-并理想格ZˇP是P-代数的且P的每个主理想是ZˇP的P-有限元,则P在KZ(P)中有有限分解.
　　 最后,在与范畴理论相结合方面,我们引入双有限的上有界偏序集的概念,并研究了它们和它们之间的D△-连续映射的性质,得到了双有限上有界偏序集R和S的乘积R×S是双有限上有界偏序集,而且所有从R到S的D△-连续映射组成的集合并赋予逐点偏序后得到的偏序集[R→S]D,也是双有限上有界偏序集,从而证明了以双有限的上有界偏序集为对象,以D△-连续映射为态射的范畴BFBP是笛卡尔闭的.