几类特殊类型约束矩阵方程迭代算法的研究

摘要

约束矩阵方程问题一直以来就是数值代数领域研究比较活跃的方向之一，它在许多方面都有着广泛的应用，如在结构设计、参数识别、自动控制理论、生物学、电学、振动理论、线性最优控制等领域.约束矩阵方程问题就是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题.不同的约束条件，或不同类型的矩阵方程，都可以得到不同的约束矩阵方程问题及相应的最小二乘问题.本篇博士论文研究了不同类型主子阵或不等式约束下矩阵方程（组）的求解，讨论了不同类型矩阵或主子阵约束下矩阵方程的最小二乘问题及其相应的最佳逼近问题，谱约束下一类特殊矩阵的构造问题.完成的具体工作和主要研究成果如下:
　　 1.利用共轭梯度算法并结合梯度投影思想，构造迭代算法，解决了不同类型主子阵约束下矩阵方程AXB+CYD=E和方程组｛A1XB1+C1YD1=E1A2XB2+CYD2=E2的求解.并将这种迭代思路作了推广，讨论了任意线性子空间约束下矩阵方程AXB=C的求解，大量数值算例验证了算法的可行性.
　　 2.将上述的迭代思路运用到解决矩阵方程的最小二乘问题及其最佳逼近问题上，构造迭代算法，讨论了(I，M)对称约束下矩阵方程ATXA=C的最小二乘问题及其最佳逼近.在行列不等的中心对称主子阵约束下矩阵方程l∑i=1AiXBi=C和l∑i=1AiXiBi=C的最小二乘问题及其最佳逼近问题.并以矩阵方程AXB=C为例，讨论在任意子空间约束下的最小二乘问题及其最佳逼近问题.在不考虑舍入误差的情况下，对任意的初始矩阵该算法都可以在有限步内迭代求出问题的解.若选取特殊的初始矩阵，还可以得到问题的极小范数解.
　　 3.讨论矩阵不等式CXD≥E约束下矩阵方程AX=B的求解问题.利用矩阵方程AX=B有中心对称解的充要条件及通解表达式，将问题等价转化成矩阵不等式的最小非负偏差问题，给出一个求矩阵不等式最小非负偏差问题的迭代方法，并结合极分解定理和相关矩阵理论，给出算法的收敛性证明.根据算法迭代结果，给出判别问题有解的充要条件，并在有解的情况下，给出解的表达式.最后利用数值算例说明算法的有效性.
　　 4.研究了主子阵的谱数据约束下Jacobi矩阵的构造问题，给出了问题有唯一解的充要条件，并给出数值算例.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题的研究意义与发展概况

1．2 本文主要工作及创新点

1．3 本文所用的记号

第2章 不同类型主子阵约束下矩阵方程(组)的求解

2．1 引言

2．2 不同类型主子阵约束下矩阵方程求解的迭代算法

2．3 不同类型主子阵约束下矩阵方程组求解的迭代算法

2．4 带梯度投影的CG算法对于矩阵方程问题的应用推广

第3章 不同类型矩阵或主子阵约束下矩阵方程的最小二乘问题及其相应的最佳逼近问题

3．1 引言

3．2 迭代法求解约束矩阵方程ATXA=C的最小二乘解及其最佳逼近

3．3 迭代法求解行列不相等的中心对称中心主子阵约束下矩阵方程lΣi=1AiXBi=C的最小二乘解及其最佳逼近

3．4 迭代法求解行列不相等的中心主子阵约束下矩阵方程lΣi=1AiXiBi=C的最小二乘解及其最佳逼近

3．5 带梯度投影的CGLS算法对于矩阵方程最小二乘问题的应用推广

第4章 矩阵不等式CXD≥E约束下矩阵方程AX=B的实(R，S)对称解

4．1 引言

4．2 问题的转换

4．3 问题(4．14)的解的存在性

4．4 求解问题(4．14)的迭代方法及收敛性分析

4．5 数值算例

第5章 由主子阵的谱数据构造Jacobi矩阵

5．1 引言

5．2 问题5．1和问题5．2有唯一解的条件

5．3 算法和数值例子

结论

参考文献

附录A 攻读学位期间完成和发表的学术论文目录

致谢