几何动量与二维球面湮灭算符的关系研究

摘要

在几何学中，弯曲时空不仅有内禀描述，还可以有外部描述。传统的现代物理学框架仅仅基于内禀几何学。如果考虑外部描述，现代物理学能否给出实验可以检验的结果是物理学前沿研究领域之一。2011年，确认了曲面上的运动粒子存在如下几何动量，(p)=-ih(rμ(δ)μ+H(N))其中rμ(δ)μ，H(N)分别为曲面上的梯度算符和平均曲率矢量。这一物理概念的得来基于如下考虑。以二维曲面为例:需要把这二维曲面嵌入三维平直时空中，能否在这三维空间中用直角坐标系来考察二维曲面上粒子的运动？结果发现动量依赖于平均曲率，而平均曲率不在内禀描述之内。故几何动量反映了空间嵌入的性质。它不仅具有可观测效应，还具有深刻的物理意义。
　　注意到相干态的思想是量子力学、量子光学以及量子场论中最为深刻的思想之一。相干态最初的提出是为了解决简谐振子波函数的经典对应问题，后来得力于激光技术的进步和理论研究的深入从而有了极大发展。但把相干态推广到弯曲时空中得益于“复化子”方法的出现。在2000年前后解决了球面上相干态的构造问题。尽管有不同的研究小组独立地构造了这一相干态，但却都等价于引入了“复化子”。
　　由于球面上的相干态是三个相互对易的下降算符（或湮灭算符）的本征函数，而这三个湮灭算符都带有一个准动量算符。那么这个准动量和几何动量之间的关系就值得研究。本文的研究证明，二者之间有一个简单关系。并且，我们证明了球面上相干态的湮灭算符具备如下符合预期的形式(Z)=α（L）(x)+β（L）(p)其中(x)为三维直角坐标系中的位置算符，(p)为几何动量，L为角动量算符。
　　本论文还研究了几何动量的球面矢量分解问题。发现二维球面上几何动量(p)可以写成如下形式:(p)=[(L)×(N)－(N)×(L)]/2
　　由于角动量矢量(L)，单位矢量(N)都不难在球面上进行分解，而这一分解的明显特征就是(L)和(N)都可以用Schwinger玻色算符进行表示。所以，我们也给出了几何动量(p)的Schwinger玻色算符表示，进而给出了湮灭算符(Z)的Schwinger玻色算符表示。
　　本文进一步揭示了二维球面上运动粒子几何动量的性质，结论表明，它类似于轨道角动量算符，具有广泛的适用性。从而表明了空间嵌入在现代物理学的作用，以及微分几何和物理学的密切关系。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 从谐振子相干态到弯曲空间相干态

1．1．1 谐振子相干态

1．1．2 平直空间中其它势场中运动粒子的相干态

1．1．3 弯曲时空中的相干态

1．2 几何动量的研究进展

1．2．1 波动力学推导

1．2．2 约束体系量子力学推导

1．2．3 间接实验检验

1．3 本论文的组成

第2章 几何动量及其Schwinger玻色表示

2．1 球面上几何动量的物理性质

2．2 几何动量的Schwinger玻色表示

2．3 本章小结

第3章 几何动量与球面上的湮灭算符

3．1 球面上的湮灭算符中准动量的改写

3．1．1 几个有用的等式的证明

3．1．2 球面上湮灭算符的改写

3．2 二维球面上湮灭算符的Schwinger玻色算符表示

3．3 二维球面上湮灭算符的对易关系研究

3．4 本章小结

总结

参考文献

附录A (攻读学位期间所发表的学术论文目录)

致谢