基于点插值无网格法的高效高精度自适应分析研究

摘要

数值计算方法在机械、土木、材料、水利、航空航天和船舶等众多领域得到了广泛的应用，并得到了学术界和工程界的一致认可。现代数值分析技术正朝着高效、高精度、低成本和高性能等方面发展，传统的分析技术早已无法满足要求。自适应分析依据数值分析的中间计算结果自动调整算法以改进求解过程，期望通过最小的计算代价来获得尽可能满意的计算精度，是一种能够提高数值方法求解效率和求解精度的有效途径。基于有限元法的自适应分析技术通过多年来的发展已经比较成熟，相对来说，新开发的无网格点插值系列方法在数值模拟方面展现了特有的优越性，基于此方法的自适应分析是一个值得深入探讨的研究方向。
　　本文集中研究了基于非结构化网格的点插值法自适应分析模式，在充分利用三角形和四面体单元可以离散任何复杂模型的基础上，成功克服了此类单元计算精度低的缺点；根据点插值法的自身特点，提出了一种简单有效的基于单元内节点基本物理量差值变化的误差估计方法；对影响分析精度和效率的关键问题如加点细分策略和局部剖分阈值等进行了深入研究，最终探索出了一种采用三角形和四面体网格的基于点插值法的自适应分析过程。本文工作为求解应力高度集中、奇异性以及裂纹等问题提供了一种高效高精度的自适应分析方法，同时也为三角形和四面体单元提供了新的发展方向。本文完成的主要工作和获得的相关结论如下：
　　（1）构建了基于S-PIM自适应分析方法，给出了基本结构框架和流程图，提出了将每个单元中各节点之间应力应变差值的应变能最大值作为误差估计因子；分别设计了简单高效的二维三角形单元和三维四面体单元的局部加点细分策略；定义了同时适用于二维和三维问题的基于剖分率的局部剖分阈值；最后分别嵌入二维和三维Delaunay网格剖分器用于网格重构，形成了一整套完备、高效、鲁棒的自适应分析方法。
　　（2）从点插值法形函数的构成入手，系统描述了基于节点光滑的点插值方法（NS-PIM）基本理论。重点提出了基于NS-PIM的自适应分析过程，并开发了相应的计算程序，为了检验 NS-PIM自适应分析在固体力学问题中的正确性和高效性，将自适应分析的结果与整体均匀加密分析的结果进行对比，重点比较了两种分析方法的求解精度和效率。对于三维问题，充分利用NS-PIM独特的能量上限解性质，结合 FEM的能量下限解性质，同时实施两种方法的自适应分析可以将问题的真实能量解界定在一个较小的范围，具有很强工程实用性。特别针对二维问题，创新性的提出了一种依据单元面积来计算局部剖分阈值的方式，可获得全自动的自适应分析过程，尽可能的减少了人为因素的主观干预。
　　（3）结合基于边光滑的点插值方法（ES-PIM）的系统离散方程和光滑应变技术，以及新颖的二维和三维光滑域构造方式，重点阐述了基于ES-PIM的自适应分析过程，依据 ES-PIM方法的特点分别设计了基于节点和基于边的误差估计因子；尝试了一种新的二维三角形加点细分策略，三维四面体单元的加密策略维持不变；二维和三维问题都采用剖分率的方式来获得局部剖分阈值；最后，ES-PIM程序直接调用二维和三维网格剖分程序，编制了完整的自适应分析程序。比较了两种误差估计因子的可行性和正确性，对比了ES-PIM和FEM两种方法分别采用自适应分析和均匀加密分析的求解精度和收敛效率，并再现了网格加密的趋势图，以及模型的真实应力分布图。对于二维问题，采用了一种根据单元面积倒数来计算局部剖分阈值的新型方式，该方式实现了不需要人为干预的全自动自适应分析过程，并与使用剖分率的自适应分析进行了比较。
　　（4）以基于ES-PIM的自适应分析成功求解固体力学问题为基础，首次提出了基于ES-PIM自适应分析在声学问题中的应用。简要介绍了ES-PIM求解声学问题的系统离散方程，针对振动噪声的特点提出了以同一个单元内任意两个节点速度差求模的最大值来作为误差估计因子的设想；单元的加密剖分策略，剖分阈值的获取方式以及网格剖分程序都和第三章所提出的ES-PIM力学问题自适应分析相似。主要进行了二维和三维问题的声学频响分析，特别针对汽车消音器和车身乘员舱进行了详细分析，与整体均匀加密分析比较，突出了自适应分析的高效性；还进行了二维问题的声学模态自适应分析，检验了误差估计因子的正确性和有效性。

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第1章 绪 论

1.1 研究背景

1.2 自适应数值分析概述

1.3 自适应数值分析国内外研究现状

1.4 本文的研究目的和主要工作

1.5小结

第2章 自适应分析方法研究

2.1 引言

2.2 自适应分析基本流程

2.3 误差估计

2.4 局部剖分标准

2.5 节点加密细分策略

2.6网格重构

2.7 小结

第3章 基于节点光滑的点插值方法自适应分析

3.1 引言

3.2 点插值法的形函数

3.3 基于节点光滑的点插值方法

3.4 自适应分析过程

3.5 算例分析

3.6小结

第4章 基于边光滑的点插值方法自适应分析

4.1 引言

4.2 基于边光滑的点插值方法

4.3 自适应分析过程

4.4 算例分析

4.5小结

第5章 基于边光滑的点插值法声学自适应分析

5.1 引言

5.2 声学问题中的基于边光滑的点插值法

5.3 自适应分析过程

5.4算例分析

5.5小结

总结与展望

1．全文总结

2．创新点

3．未来展望

参考文献

附录A 攻读博士学位期间发表的学术论文

附录B 攻读博士学位期间参与的科研项目