广义测度空间上的模糊度量及其收敛问题研究

摘要

广义测度（包含非可加测度和模糊测度）作为模糊集理论的一个分支，最早形成于20世纪70年代，它与广义积分是经典测度与积分的延拓，与调和分析、微分方程、差分方程和最优化理论有着紧密联系，同时在多准则决策、信息集成、模式识别和回归分析等方面也有着广泛应用.模糊度量空间理论是模糊拓扑学中的一个重要组成部分.近十年来基于三角模的模糊度量理论备受关注.学者们在完备化、收敛、紧致性、一致连续、不动点等方面取得一系列漂亮的结果.另外，模糊度量空间理论还与广义测度、Domain理论、图像处理等结合繁衍出许多新的研究课题.
　　收敛问题是测度论和拓扑学中的核心问题，而利用度量理论研究测度的收敛问题，更是拓扑测度研究的重要领域，也是拓扑学与测度论密切联系的重要体现.本文主要研究广义测度与模糊度量之间的联系，通过在广义测度空间上构造模糊度量，研究广义测度空间上的收敛问题及其在广义测度扩张上的应用.因此，本文研究结果将进一步丰富和完善广义测度理论和模糊度量理论，并为广义测度论的应用提供更为坚实的理论基础.
　　本文以关注度较高的两类广义测度（可分解测度和模糊测度）为研究对象，主要围绕以下三个问题展开研究:(1)广义测度与模糊度量相互诱导的方法;(2)广义测度空间与模糊度量空间性质的相互刻画;(3)应用上述结果研究广义测度空间上的收敛、扩张等问题.全文共六章，主要研究工作分四个部分:
　　第一部分研究可分解测度空间上的广义度量.在可测集上定义一个等价关系，并在其构造的商集上诱导一个广义度量;讨论所诱导的广义度量空间的连续性、完备性等性质;研究所构造的广义度量空间与σ-⊥-可分解测度空间性质的相互刻画.研究发现，σ-⊥-可分解测度空间上的μ-可分性、无原子的性质在广义度量空间中可以得到有效刻画.
　　第二部分研究模糊测度空间上的模糊度量.通过在模糊可测空间上定义模糊可测集的模糊度量，探讨所构造的模糊度量空间与在模糊可测空间上构造的模糊测度空间之间性质的相互刻画.沿用第一部分的研究思路，基于给定的模糊测度，通过在模糊可测集上构造等价类，并在其商集上定义模糊度量;讨论所构造的模糊度量的完备性、连续性等性质;证明了模糊测度空间的无原子性质在所构造的模糊度量空间上可以很好地刻画.结论表明，当t-模取min时，经典结果可以在模糊背景上得到推广.
　　第三部分研究可分解测度扩张的广义伪度量方法.应用第一部分的研究结果，给出σ-⊥-可分解测度从A到S(A)上的扩张，即为所诱导的广义伪度量空间上子集的闭包.研究广义伪度量方法扩张与σ-⊥-可分解测度完备化以及Carathédory扩张之间的关系.结果表明，利用广义伪度量方法的σ-⊥-可分解测度扩张与σ-⊥-可分解测度的完备化以及Carathédory扩张结果是一致的，但是广义伪度量方法更加直观、有效.
　　第四部分研究可分解测度空间上的Vitali-Hahn-Saks定理.应用第一部分的研究结果讨论可分解测度序列的集合式收敛问题.利用广义度量空间上的Baire定理等重要结论，证明可分解测度空间上的Vitali-Hahn-Saks定理，Nikodym定理.研究结果表明，在一定条件下，可分解测度序列的“集合式收敛”（在拓扑学中定义为逐点收敛）可以得到可分解测度序列“一致绝对连续”，实现了测度概念和拓扑概念的相互刻画.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 研究背景和意义

1．2 国内外研究现状及发展动态分析

1．2．1 广义测度论简介

1．2．2 广义测度空间上的收敛问题简介

1．2．3 模糊度量空间简介

1．2．4 广义测度与模糊度量理论的结合研究进展

1．3 本文结构安排与创新点

1．4 记号

第2章 预备知识

2．1 三角模、三角余模

2．2 广义测度

2．2．1 可分解测度

2．2．2 模糊测度

2．3 模糊度量

第3章 可分解测度空间上的广义度量

3．1 引言

3．2 广义度量空间

3．3 可测集上广义度量的构造

3．4 广义度量空间(A／μ，d⊥)的性质

3．5 广义度量空间和σ-⊥-可分解测度空间性质的相互刻画

第4章 模糊测度空间上的模糊度量

4．1 引言

4．2 F-测度空间上模糊度量的构造

4．3 模糊度量空间(A，M，T)的性质

4．4 模糊度量空间与F-测度空间性质的相互刻画

第5章 可分解测度扩张的广义伪度量方法

5．1 引言

5．2 广义伪度量空间

5．3 可分解测度扩张的广义伪度量方法

5．4 σ-⊥-可分解测度μ*|(-A)的完备性

5．5 σ-⊥-可分解测度扩张的广义伪度量方法和Carathédory方法比较

第6章 可分解测度空间上的Vitali-Hahn-Saks定理

6．1 引言

6．2 广义度量空间上的Baire定理

6．3 可分解测度空间上的Vitali-Hahn-Saks定理

结论

参考文献

附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录

致谢