状态依赖时滞微分方程拟周期解研究

摘要

本学位论文主要利用参数化方法来构造状态依赖时滞微分方程的拟周期解并研究其解析性质.为此,我们将发展方程拟周期解的存在性问题转化为Banach空间中的泛函方程问题,从而可以使用非线性分析中的各种工具.利用参数化方法我们还可以得到后验性结果,即若泛函方程存在逼近解且满足非退化性,则在逼近解附近存在准确解.全文共分为五章,其主要内容如下:
　　在第1章中,我们介绍了状态依赖时滞微分方程解的基本理论,时滞微分方程解的解析性以及时滞微分方程的拟周期解等研究结果.
　　在第2章中,我们在双曲性假设下证明了有限光滑状态依赖时滞微分方程拟周期解的保持性.为此,我们利用插值不等式建立了一个不动点定理,使得系统拟周期解的存在性可由不动点定理直接得到,且结论以后验性定理的形式给出.值得注意的是,在指数二分的双曲性假设下,我们不会遇到小除数问题.此外该方法还适用于多时滞情形.
　　在第3章中,我们介绍了保叶层环映射的定义及基本性质,以此来研究状态依赖时滞微分方程解析拟周期解的存在性.通过分析频率向量的共振性和非共振性,我们展示了保叶层旋转映射的动力学特征.同时,我们利用KAM技巧考虑了保叶层环映射的共轭问题,并发现其本质上是个一维问题.
　　在第4章中,我们考虑了一类简单的状态依赖时滞微分方程的解析拟周期解的存在性.为求解由参数化方法所诱导的不变方程,我们同时引入辅助方程用以克服解析区域溢出定义域的问题,而辅助方程则来源于保叶层环映射的共轭问题.于是,我们利用KAM迭代技巧同时求解两个泛函方程,并证明在具正测度的某个参数集上系统存在解析的且满足局部唯一性的拟周期解.
　　最后,我们对比总结了该论文中所用的方法和所获得的结论,提出关于拟周期解的解析性质的一个猜测,并描述了拟开展的后续性工作.

目录

声明

第1章 绪论

1.1 状态依赖时滞微分方程解的基本理论

1.2 时滞微分方程解的解析性

1.3 微分方程的拟周期解与不变环面

1.4 本文的主要工作

1.5 本文记号

第2章 有限光滑拟周期解

2.1 研究背景

2.2 预备知识

2.3 拟周期解的不变方程

2.4 补充说明

第3章 保叶层环映射

3.1 定义及基本性质

3.2 (非)共振频率及 Diophantine 条件

3.3 解析函数空间

3.4 共轭问题

第4章 解析拟周期解

4.1 研究背景

4.2 预备知识

4.3 KAM 定理

4.4 Lindstedt 级数的存在性(定理 4.3.2 的证明)

4.5 牛顿迭代过程

4.6 定理 4.3.1 的证明

4.7 技术性引理

结论

参考文献

致谢

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