二维对流占优扩散方程基于特征理论的算法研究

摘要

对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可以用来描述河流污染、大气污染、核废物污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象。对流占优扩散方程具有一个共性，即对流占优性，对流占优性给数值求解带来许多困难。因此，寻找一种有效数值解法一直是计算数学中重要研究内容。80年代，Douglas和Russell等提出特征修正技术求解对流占优扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限差分方法、特征混合有限元方法等，并给出理论分析。 本文考虑到问题的一维情形研究较多，选择二维线性对流占优扩散方程作为研究的模型问题，主要做了以下两个方面的工作： 1.将扩展特征混合有限元方法来数值求解该模型问题，给出了方程的离散格式．该格式从未知函数，未知函数的梯度及伴随向量函数三个方面同时高精度的逼近，即对扩散部分采用了扩展混合有限元方法；而对对流部分则沿着特征线方向进行离散，以消除流动锋线的数值弥散现象，这样又保证了稳定性。经过理论分析，对于二维情形，该方法同样具有稳定性且有L2的逼近精度。 2.在相同模型问题不同边界条件下，运用特征有限差分方法数值模拟。由文[27]讨论一维例子，进一步分析，找出一种求解二维对流占优扩散方程的双线性插值，给出了其离散格式，并理论分析了该格式的收敛性，结果整体误差与O(h2+△t)同阶。同时，给出了算例，利用MATLAB7.0软件编程算出该例子的数值解，通过图形比较分析，说明对于一类二维对流占优扩散方程，应用此差分格式，能更有效消除数值振荡现象，从而能提高数值逼近度。

目录

文摘

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第一章绪论

1.1 对流占优扩散方程的背景

1.2 现有基于特征理论的算法介绍

1.3 本文研究的主要问题

第二章线性对流占优扩散方程的扩展特征混合有限元法

2.1 引言

2.2 方程的扩展特征混合有限元离散格式

2.3 扩展特征混合有限元格式解的存在唯一性

2.4 扩展特征混合有限元格式的误差估计

第三章线性对流占优扩散方程的特征有限差分法

3.1 引言

3.2 算法构造

3.3 双线性插值

3.4 收敛性分析

3.5 数值例子

结论

参考文献

致谢

附录