有限群的共轭类的图与积的相关研究

摘要

利用有限群的共轭类的一些数量性质来研究限群的结构是有限群理论的重要课题，国内外众多学者在这一领域已经获得了若干研究成果.本文首先通过定义一些和有限群的共轭类相关联的图，通过这些图的性质来研究有限群的结构，其次通过研究共轭类的积的性质来研究有限群的结构.本文共分四章，主要有如下内容:
　　第一章列举了本文相关的文献背景及主要内容.
　　第二章列举了本文需要的基本定理、相关引理及证明过程.
　　第三章通过共轭类图Γ(G)的数量性质来研究有限群G的结构.设G为有限群，g为G的元素，o（g）表示g的阶.对gG1，gG2，…，gGn为G的n个互不相同的非中心的共轭类，若满足（o（g1），o（g2），…，o（gn））=1，即g1，g2，…，gn的阶互素，我们称G有性质R.游兴中分别研究了具有性质P3和P4的有限群的结构.当G是非可解群时，[61]没有刻画对满足性质P5的群G的结构，本文将利用单群分类定理刻画具有性质P5的非交换单群的结构.由于随着n的增大，刻画满足性质Pn的群的结构会更加复杂，也会困难很多，本文研究了当G是某些特殊的群类（幂零群，Frobinous群及置换群）且满足性质P6时G的结构.
　　第四章通过研究有限群G的共轭类的积来研究有限群的结构.首先研究有限群G的正规子集的一些性质以及共轭类的方幂的性质.
　　对任意xG∈con(G)，xG={xg|g∈G}=x[x，G]，其中[x，G]为G的非空子集，文章对[x，G]做一些研究，考虑了[x，G]是G的子群的等价条件及相关问题.对任意xG，yG∈con(G)，可知xG与yG的积xGyG是G的正规子集，因此xGyG是G的一些共轭类的并集，kG(xGyG)为xGyG包含的G的共轭类的个数，本文研究xG，yG满足某些条件下kG(xGyG)对群结构的影响，同时证明了G是交换群当且仅当kG(xGyG)=1对任意x，y∈G.

目录

声明

摘要

符号表

第一章 绪论

1．1 课题背景与发展概况

1．2 主要研究内容

第二章 预备知识

2．1 基本概念

2．2 相关引理及证明

第三章 一类和有限群的共轭类关联的图与群结构

3．1 引言和准备

3．2 一些引理

3．3 具有性质P5的有限非交换单群

3．4 具有性质P6的有限群

第四章 有限群的共轭类的积与群结构

4．1 引言和准备

4．2 一些引理

4．3 主要结果的证明

参考文献

致谢

附录