R中带有多重临界指标和多个奇N点的半线性椭圆方程组

摘要

本文主要研究 NR中两类带有多重临界指标和多个奇异点的半线性椭圆方程组.首先在引言部分,我们介绍了本文将要研究的两个方程组及相关的研究背景,使我们对研究的内容形成初步的了解.同时该部分还阐述了一些基本的预备知识,为接下来的研究做准备.
　　在第二章,我们运用集中紧性原理分别建立了两个方程组相应泛函的局部Palais-Smale条件.这里由于本文所研究的两个方程组带有多个临界非线性项,特别是强耦合项,使得相应的能量泛函失去全局紧性,所以,必须建立局部Palais-Smale条件.另一方面,由于两个方程组带有多个奇异点并且本文要在无界区域 NR中进行研究,因此,在建立局部Palais-Smale条件的过程中,我们采用集中紧性原理来证明临界序列的收敛性.
　　在第三章,我们研究了两个方程组相关最佳常数之间的关系,这是证明基态解存在性的重要前提.依据最佳常数之间的关系,可以得到相应最佳常数的达到函数.又因为使得 Rayleigh商取得极小值的解就是方程组的基态解,所以本文通过研究最佳常数来完成对基态解的研究.
　　在第四章,我们证明了两个方程组基态解的存在性.根据局部Palais-Smale条件,可以得到方程组相应能量泛函在 NR上的临界点,然后再利用最佳常数就可求得方程组非负基态解的存在性.更进一步地,为了得到正的基态解,我们运用了最大值原理.然而,由于本文所研究的两个方程组是半线性的,利用最大值原理只能排除所得非负基态解为)0,0(的情况,所以我们必须去寻找其它合适的方法来排除所得非负基态解为半平凡解的情况.
　　最后在第五章,我们研究了两个方程组基态解的不存在性.在研究的过程中主要采用反证法,通过运用方程组相关最佳常数之间的关系来达到对该问题的研究.

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第一章 引言

1.1研究的问题及研究背景

1.2 符号及定义

1.3主要结论

1.4结构安排

第二章 局部Palais-Smale条件

2.1预备知识

2.2局部Palais-Smale条件的建立

第三章 最佳常数之间的关系

3.1相关引理

3.2 相关最佳常数之间的关系

第四章 椭圆方程组基态解的存在性

4.1相关引理

4.2定理1.3.1的证明

4.3定理1.3.2的证明

第五章 椭圆方程组基态解不存在的条件

5.1相关引理

5.2 定理1.3.3的证明

5.3 定理1.3.4的证明

结束语

参考文献

致谢

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