过完备字典下的稀疏信号重构研究

摘要

稀疏性是自然界信号普遍存在的一种特性，是指信号的非零变换系数数量远小于信号的长度。信号稀疏性的存在使得相关信息的提取变得更加快速有效，从而减少信号获取和处理过程中的成本。压缩传感是一种利用信号稀疏性的全新数据采样模式，信号重构是压缩传感中的关键理论部分。目前所提出的信号重构理论仅适用于正交基下的稀疏信号，无法满足实际应用中所遇到的多种信号类型，而在通常情况下，大部分类型的信号能找到关于过完备字典的稀疏表示，把适用信号范围推广到过完备字典下的稀疏信号可以增加应用上的灵活性；并且，用过完备字典来近似表示信号，可以极大的减少近似畸变和均方差，有效表现信号的稀疏性。本文将压缩传感中的信号重构理论扩展到更为常见的过完备字典下的稀疏信号，研究了过完备字典下的稀疏信号重构算法，并考虑了现实世界中所存在的不同噪声对重构精度的影响，构建出完整的噪声干扰模型，最后把所得到的理论结果应用到小波域稀疏信号的重构。本文的主要研究工作如下：
　　 (1)信号重构的精度与传感矩阵和过完备字典的性质密切相关，目前还缺乏一种可以完整描述传感矩阵和过完备字典对联合性质的统计量，针对该问题提出了两种基于相关度的统计方法--直方图统计和分组衡量，分别用于获取传感矩阵和过完备字典对的全局信息和局部信息，从而为精确重构原始信号提供可靠的前提条件。
　　 (2)l1范数最小化信号法和l1范数最小化系数法是两种表达式类似的l1。范数最小化重构算法，本文从几何角度深入分析了两种重构算法的异同，提出了用单一高维多面体映射两者的求解代数表达式和最终结果的方法，研究了两者在采用过完备字典时多面体结构上的差异和两种算法的先验条件，为选择合适的算法提供了理论依据。
　　 (3)针对噪声对信号重构精度的影响，构建了一个完整的噪声干扰模型衡量不同噪声来源、不同噪声类型和不同采样方式下，噪声对重构误差的影响。利用最小均方法检验了误差影响，证明了约束等距性常数不是决定重构误差的唯一因素，给出了重构误差能量均值、噪声和支撑集内传感矩阵三者间的关系表达式。通过将三种典型检测器噪声导致的误差与直接采样稀疏信号产生的误差进行比较，证明了压缩采样方式可以有效减小检测噪声引起的误差。针对应用中传感矩阵实现过程中产生的噪声，分析了传感矩阵噪声对传感矩阵约束等距性的影响，证明了传感矩阵噪声对传感子矩阵的影响表现为一个关于相对噪声水平的线性函数。仿真试验验证了推导的重构误差表达式的正确性。
　　 (4)针对基追踪等基本重构算法在利用信号结构性稀疏方面的欠缺性，本文在研究小波系数在尺度和时间上存在依赖关系的基础上，提出了一种针对光滑信号的小波系数分布规律的快速重构算法——异权重迭代法，该算法通过利用变换系数的先验信息对小波系数分组并施加不同权重值，提高了每次迭代结果的稀疏度，减少了算法中的迭代次数。由于在重构信号时需要使用过完备小波字典对应的矩阵表达式，本文在推导了正交小波变换所对应的矩阵形式的基础上给出了过完备小波字典所对应矩阵的生成方法。
　　 (5)为了检验本文提出的信号重构算法在实际应用中的效果，本文将其应用于自然图像的去噪处理。提出了一种基于信号稀疏性的图像去噪方法——稀疏字典训练去噪法，该方法利用待处理图像来训练过完备字典，再通过异权重迭代法重构出图像在过完备字典下的稀疏变换系数对图像进行去噪。多组针对自然图像的实验数据验证了本文所提出的稀疏字典训练去噪法的有效性。