平行四边形的弦长分布

摘要

凸体具有很多很好的性质,而且具有凸结构的物体在生活中又随处可见,所以对凸体的研究就引起了许多学者的关注。通过凸体特有的这些性质可以定性的考察和分析凸体,比如通过凸体的弦长分布来考察原凸体的重构等等。在研究凸几何体时,积分几何学方法是常用的方法。
　　 积分几何与几何概率有着非常深厚的渊源,所以在积分几何中经常被用到的两个重要工具就是概率和分析。上个世纪德国数学家W.Blaschke从几何概率的角度来研究有界凸域的性质。其中着重研究了用弦长分布函数能否确定以及如何确定一个有界凸域。当有界凸域是圆盘和正三角形时,R.Sulanke在1961年得到他们的的弦长分布函数;当有界凸域为矩形时亚美利亚科学院院士W.Gille在1988年得到了他们的弦长分布函数;在Gille的研究基础上2009年Gille的学生把结果推广到任意正多边形。其实上述这些问题都是基于协变差问题提出的。协变差问题是这样描述的:在不考虑旋转反射的前提下,协变差能否确定一个凸域。就这个问题G.Matheron在1986年给出了肯定回答,这也就是著名的马赫猜想。协变差问题也等同于这样一个问题:所有的有向弦长分布能否确定一个凸域。运用弦长分布来证明马赫猜想就成了一个非常有效的方法。
　　 同时弦长分布函数在许多研究领域都有广泛应用,如在化学领域,建筑领域,反应堆物理学中弦长分布函数都是一个很重要的工具。但是现有的参考文献都只是得出了比较规则的凸域的弦长分布,对于不规则凸域的弦长分布函数,现有文献中还没有很好的方法。
　　 本文将从积分几何的角度出发来分析凸体,在引入了凸域的广义支持函数和限弦函数这两个重要工具之后,利用积分几何方法求出平行四边形的弦长分布函数。