隐式分数阶微分方程及耦合系统的研究

摘要

分数阶微积分是整数阶微积分的推广和发展，其理论是在Leibnitz，Riemann和Liouville等人的努力下逐步建立起来的。目前，分数阶微积分理论广泛应用于控制理论、粘弹性理论、流体力学、电子化学等领域，有着重要的研究意义。
　　本文研究了二类隐式分数阶微分方程和一类隐式分数阶微分方程耦合系统。主要结果有:
　　（一）研究了如下的Caputo分数阶导数定义下的非线性隐式分数阶微分方程初值问题{cDαx(t)=f(t,x(t),cDαx(t))x(0)=x0，t∈[0，T]其中0＜α＜1，f∶[0，T]×R×R→R是连续函数。利用不动点定理研究了该初值问题解的存在性和存在区间、唯一性，利用分数阶积分形式的Gronwall不等式研究了解的估值、解对初值的连续依赖性和唯一性、解对参数和非线性项的连续依赖性，最后还探究了初值问题的ε-近似解。
　　（二）讨论了如下的Caputo分数阶导数定义下的非线性隐式分数阶微分方程耦合系统初值问题{cDαx(t)=f(t，y(t),cDαx(t))cDβy(t)=g(t,x(t)，cDβy(t))x(0)=x0,y(0)=y0,t∈[0,1]其中0＜α，β＜1，f,g∶[0,1]×R×R→R是连续函数。同样利用不动点定理研究了该耦合系统解的存在性和唯一性，利用向量形式的Gronwall不等式研究了解的估值、解对初值的连续依赖性和唯一性、解对参数和非线性项的连续依赖性，最后探究了耦合系统的ε-近似解。
　　（三）探讨了如下的Riemann-Liouvile分数阶导数定义下的隐式分数阶微分方程周期边值问题{f(t，u(t)，Dαu(t)-λu(t))=0，0＜α＜1limt→0+t1-αu(t)=u(1)，0＜t≤1其中λ＜0，λ∈R，Eα，α（λ）＜1/2Γ(α)，f∶（0,1]×R2→R是连续函数。首先给出原问题的等价方程，然后通过该问题的Green函数，利用不动点定理，给出了上述周期边值问题解的存在性和唯一性结果。

目录

声明

摘要

1．1 历史背景及意义

1．2 国内外研究现状

1．3 论文的内容安排

第2章 预备知识

2．1 分数阶积分和分数阶导数

2．2 Gronwall不等式

2．3 锥与半序

2．4 Mittag-Leffler函数等

第3章 非线性隐式分数阶微分方程初值问题

3．1 解的存在性和存在区间

3．2 解的估值

3．3 解对初值的连续依赖性和唯一性

3．4 解对参数和非线性项的连续依赖性

3．5 ε-近似解

第4章 非线性隐式分数阶微分方程耦合系统初值问题

4．1 预备知识

4．2 解的存在性和唯一性

4．3 解的估值

4．4 解对初值的连续依赖性和唯一性

4．5 解对参数和非线性项的连续依赖性

4．6 ε-近似解

第5章 隐式分数阶微分方程周期边值问题解的存在性与唯一性

5．1 预备知识

5．2 解的存在性和唯一性

5．3 举例

第6章 总结

7．1 论文创新点

7．2 展望

致谢

参考文献

附录