关于非对称Lp-Brunn-Minkowski理论中某些问题的研究

摘要

本文研究内容隶属于凸几何分析中的非对称 Lp-Brunn-Minkowski理论,重点研究非对称Lp-Brunn-Minkowski理论中某些广义Lp-几何体,包括广义Lp-质心体、广义Lp-平均带体、广义Lp-曲率映像体、广义Blaschke体的极值和相关不等式. 此外,还引入了i次 Lp-仿射表面积的概念并建立了若干几何不等式.本文主要利用Brunn-Minkowski理论、Lp-Brunn-Minkowski理论及其对偶理论的基本概念和方法、积分变换方法和解析不等式理论来探究这些问题,具体研究成果如下: 1. 在Ludwig、Haberl和Schuster对广义Lp-质心体的研究基础上,我们进一步探讨了广义Lp-质心体关于均质积分和对偶均质积分的极值问题,从而扩充了Haberl和Schuster的某些结论. 2. 张高勇引入了经典平均带体的概念,席东盟、郭路军和冷岗松给出了 Lp-平均带体的概念.我们结合Ludwig给出的函数,定义了广义Lp-平均带体,讨论了广义Lp-平均带体的性质,并给出了它们的极值问题和相关几何不等式. 3. 在李晋、袁淑峰和冷岗松研究对称 Lp-曲率映像体的基础上,我们定义了广义 Lp-曲率映像体,并讨论了广义 Lp-曲率映像体的性质,研究了它们的极值问题和相关不等式. 4. 结合经典 Blaschke 体的概念,我们定义了广义 Blaschke 体,探讨了广义Blaschke 体关于体积、仿射表面积和几何表面积的极值问题.并应用广义 Blaschke体,推广了经典投影体的Shephard问题的否定解范围. 5. 基于Lutwak、王卫东和冷岗松对Lp-混合仿射表面积的研究,我们根据Lp-混合均质积分的概念,定义了i次 Lp-仿射表面积的概念并进行研究,从而推广了Lutwak关于Lp-仿射表面积的若干结论.

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