加权P-harmonic方程解的整体分支结构

摘要

本文研究了加权p-harmonic算子△p,wu=△w(|△wu|p-2△wu)在Navier边值条件(即u=△u=0，x∈()Ω)下的整体分支现象.上式中记△wu=divw(()wu)，()wu=(()u/()x1w1-p1(x),()u/()x2w1-p2(x)，…，()u/()xnw1-pn(x)).对于任意的v∈W1,p0(Ω，w)∩W2,p(Ω)，定义∫Ω△w(|△wu|p-2△wu)vdx=∫Ω|△wu|p-2△wu△wvdx，其中w(x)={wi(x)}ni=0为向量值函数，Wi,p0(Ω，w)表示加权索伯列夫空间(具体定义将在第二节给出).假设Ω为Rn中的有界区域，其边界()Ω是光滑的.任取p∈(1，∞)，考虑如下非线性特征值问题△w(|△wu|p-2△wu)=λ|u|p-2u，x∈Ω，(1.1)u=△u=0，x∈()Ω.本文证明了(1.1)存在着一个最小的、正的特征值λ1=λ1(p)，且λ1(p)是单重的、孤立的.更进一步，我们证明了(1.1)相对应于特征值λ1(p)的特征函数u1=u1(p)严格正且满足()u1/()n＜0，x∈()Ω.我们还得到λ1(p)作为p的函数是连续的.紧接着我们又讨论了如下边值问题△w(|△wu|p-2△wu)=λ|u|p-2u+g(x，λ，u)，x∈Ω，(1.2)u=△u=0，x∈()Ω.其中函数g(x，λ，u)表示(1.2)的高阶项，且满足适当的增长性条件.我们利用Leray-Schauder度理论证明了(λ1(p)，0)是(1.2)的一个分支点，进而根据[10]中的标准分支定理得到了关于(1.2)解的整体分支结果.

目录

文摘

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第一节引言

第二节加权索伯列夫空间

第三节辅助性结果

第四节特征值问题

第五节整体分支结果

参考文献

致谢