偏微分方程在弦振动问题中的应用

摘要

偏微分方程是反映有关未知变量关于时间和空间变量导数之间制约关系的等式，在物理学等领域应用广泛。弦振动是一种机械运动，但是弦并不是质点，质点力学定律并不适用在弦振动的研究上，可以用弦振动方程来表示。弦振动方程实际上是一个典型的偏微分方程模型，建立过程相当复杂，主导思想是抓住主要因素，忽略次要因素。为了得到弦振动问题的唯一解，必须在弦的两端给出边界条件，也就是考虑研究对象所处边界上的物理状况。 本文针对弦振动的边值问题，研究了弦振动问题在实际中的一些应用：首先我们对弦振动问题进行适当的假设，分别导出了弦不受外力作用时的弦振动方程和弦受到外力作用下的弦的强迫横振动方程，应用分离变量法研究弦振动方程在不同条件下定解问题的存在性，然后研究相应定解问题的意义导出其在杆振动等典型问题中的应用。从弦振动的基本理论出发，研究了斜拉桥钢索问题，通过求解弦振动方程，得到了钢索振动的固有频率与钢索张力的关系式。了解并控制其张力，无论是对于斜拉桥梁承载能力和营运状况的评估，还是对于空中缆车钢索的张力控制等，确保这些设施的运行安全都具有重要的工程实际意义。最后对实际应用中的管纱问题进行了分析和讨论并解决了问题。

目录

文摘

英文文摘

声明

1引言

1.1偏微分方程概述

1.2研究现状

1.3基本概念

2弦振动方程的建立

2.1弦的微小横振动方程

2.2弦的强迫横振动方程

3杆的纵振动问题的研究

3.1杆的纵振动方程的推导

3.2用分离变量法求自由振动问题的解

3.3固有值λ的讨论

4斜拉桥钢索问题

4.1用弦振动理论对钢索问题进行分析

4.2钢索张力与固有频率的关系

4.3温度对钢索张力的影响

5管纱问题

5.1络纱气圈的理论分析

5.2非齐次边界条件的齐次化

5.3非齐次方程的求解

5.4络纱气圈方程的推导

6结论和展望

6.1结论

6.2展望

参考文献

致谢