二阶延迟微分方程延迟依赖稳定性分析

摘要

延迟微分方程对物理、工程、生物、医学及经济等领域中模型的刻画起着重要的作用，其数值算发的理论研究具有相当的重要性。近四十年来，众多学者对其有着极大的关注。本文主要研究延迟微分方程的解析解以及数值解的延迟依赖稳定区域问题。 在本文的最开始，我们简要介绍延迟微分方程在不同领域中的应用以及近几十年来延迟微分方程解析与数值稳定性理论的研究和发展过程。 其次，我们在第二章中考虑一类含2个实系数的延迟微分方程的渐近稳定性问题.首先引用文献中结果,给出其解析渐近稳定的充要条件，并在参数平面上描绘出来。其后，运用边界轨迹给出了求解此类问题的梯形方法的延迟依赖稳定区域边界。进一步，将得到的数值稳定区域与解析稳定区域进行比较，证明恶劣解析稳定区域是数值稳定区域的子集。这说明梯形方法可以完全保持模型方程解析解的渐近稳定性。 再次，第三章进一步讨论含3个系数的延迟微分方程的解析解的渐近稳定性。通过研究特征方程临界根在参数平面上的分布，运用根轨迹法得到模型方程解析解的延迟依赖稳定区域边界的参数方程表达式，并在参数平面上绘出了该区域。从而给了该系统的解析解渐近稳定的充分必要条件。 在文章的第四章，我们讨论第三张中模型方程梯形方法的数值稳定性。直接离散微分方程得到相应的差分方程。 通过研究差分方程特征方程的根的分布，同样可以得到梯形格式数值稳定区域与解析稳定区域进行了比较，证明了解析稳定区域为数值稳定区域的子集，着说明了梯形方法可以完全保持这类延迟微分方程解析解的渐近稳定性。 最后，我们通过数值实验进一步验证文本结论的正确性。