基于水平集方法的结构拓扑与形状优化技术及应用研究

摘要

结构拓扑和形状优化设计是伴随着计算机软、硬件及有限元方法的迅速发展而发展起来的一门力学分支。虽然结构拓扑和形状优化已经取得了一定的发展成果，传统的拓扑和形状优化方法仍然存在一些重要的问题需要解决。水平集方法因结构边界是隐式表达，同传统的拓扑和形状优化方法相比具有能够同时描述拓扑和形状变化、优化过程中边界保持光滑等优点。但目前标准水平集方法存在一些问题，影响其优势的进一步发挥。本文针对标准水平集方法中存在的问题提出解决办法，并将其推广到柔性机构设计、结构动力学优化设计和多物理场微机电系统(MEMS)结构设计。
　　 首先，针对标准水平集方法拓扑形状优化中存在的步长受逆风差分格式中的Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件限制，优化收敛速度慢；只能通过边界合并和断开生成孔，不能自由生成新孔，优化结果严重依赖初始设计等问题，提出半隐式加性分裂算子(AOS)策略的水平集方法。采用半隐式的AOS差分格式来代替显式的逆风差分格式求解水平集优化方法中的Hamilton-Jacobi偏微分方程。因半隐式的AOS差分格式为无条件稳定，步长不受限制，极大地提高了水平集结构优化方法的求解效率，并有效减轻最终优化结果对初始设计的依赖。
　　 其次，为解决标准水平集方法优化过程中只能通过直接求解Hamilton-Jacobi偏微分方程来实现结构边界的演化，不能同优化领域中成熟的优化算法相结合，优化求解效率不高,难以处理多约束；优化过程中需要对水平集函数进行耗时的周期性重新初始化的问题。将紧支径向基函数(CS-RBF)引入到水平集方法结构优化中，提出参数化水平集方法。用CS-RBF插值函数来代替标准水平集方法中的离散格式的高维水平集函数来描述结构边界，并以插值函数扩展系数作为设计变量，采用数学规划法来更新设计变量以更新水平集函数。CS-RBF插值函数优化过程中能够始终满足连续性和光滑性要求，因此不需要进行重新初始化。参数化水平集方法摆脱了因离散求解Hamilton-Jacobi偏微分方程带来的数值问题，可以很好地和成熟的优化算法结合，提高了求解效率，减小了优化结果对初始设计的依赖，同时保留水平集方法隐式边界描述的优点。
　　 第三，分析了基于弹簧模型柔性机构拓扑优化设计中必然产生伪铰链结构的原因。根据水平集方法结构优化具有几何信息的特点，将图像处理中的二次能量泛函引入到柔性机构拓扑优化设计中，以控制柔性机构拓扑优化结果的几何尺寸，得到等宽的带状结构的柔性机构拓扑优化结果，解决柔性机构拓扑优化设计中存在的伪铰链问题。降低柔性机构设计结果出现应力集中现象的可能，提高其抗疲劳能力。
　　 第四，将水平集方法和结构一阶频率最优化准则相结合，提出基于水平集方法的结构一阶频率最大化的拓扑形状优化技术，并用其研究了二维和三维弹性结构的一阶频率最大化的拓扑形状优化问题。同时将基于CS-RBF的参数化水平集方法应用于多物理场MEMS结构设计，研究了热-弹、电-热-弹多场作用下线性和几何非线性MEMS结构拓扑优化设计问题。
　　 最后，基于本文所提出的水平集结构优化方法，在VC++6.0的开发环境下开发了基于水平集方法的拓扑形状优化原型系统。该原型系统具有简单的建模、有限元分析、敏度分析以及水平集函数更新等模块。能够实现二维及三维结构体积约束下的刚度和一阶特征频率最大化的拓扑形状优化，并建立了同CAD/CAE软件的接口。同时原型系统具有很好的可扩展性，能够扩展到多个拓扑形状优化问题。为研究算法的可视化、研究成果的工程化奠定了基础。