具有年龄结构和空间扩散的非线性人口方程定态问题研究

摘要

人口动力系统描述了一种物种(如人，细菌)等，其数目总量与时间、年龄和空间分布的关系，通过对该关系的长期研究，发现物种数目的变化与该物种的出生率，死亡率，物种总数，空间，环境资源(如传染病)的影响密切相关，人们借助数学模型来模拟现实中物种数目总数的变化规律与以上各因素的相互关系，称为人口方程.当今世界各地区人口分布不均匀，各地区的人口出生率差异较大，而地区本身所具有的总人口差别也较为显著，我们可以通过人口方程对该地区的人口总数变化作出预测，从而制定相应的政策.同样人口方程可对生物种群如动物，植被，细菌的数目变化做出合理的解释，因此对人口方程的研究对实际应用有很大的现实意义.
　　 本文主要研究问题(1.2.2)解的存在性与唯一性，在第二边界条件并且假定种群的年龄α可以趋于无穷情形下与时间t无关的定态模型.通过主特征值的正性来构造上下解，结合上下解理论，得出解的存在性与唯一性.由于本文中用到了主特征值(又称第一特征值)及其相应的特征函数(第一特征函数)，它们的正性对于构造上、下解非常重要，在第二章介绍了有关特征值与算子的相关知识.第三章分析了(1.2.2)的线性部分特征值性质，结合特征值的相关性质，得出(3.1.1)存在主特征值λ0(μ)，结合上下解理论，得出方程组(1.2.2)当且仅当λ>λ0(μ)时解的存在性与唯一性.