有界整数序列与实数的超越性

摘要

超越性的判断问题是数论中一个重要的问题.几乎所有的实数都是超越数,但是却没有一个行之有效的判断实数超越性的标准.从实数的表示方法来看,对于任意的实数,无论它的连分数展式还是b 进展式,都是一个非负整数序列,后者还是有界的.本文就是从有界整数序列的结构入手,讨论部分商有界的连分数的超越性,以及b 进数的超越性.
　　 文中首先介绍一些预备知识,包括词和序列的基本概念,连分数的定义以及基本性质,丢番图逼近的相关结果,b 进展式与正规数的相关知识.然后分两部分陈述了一些超越性结果:连分数超越性准则,b 进展式超越性准则.并利用这些结果去分析一些特殊序列所对应连分数以及b 进数的超越性.注意到已有的研究结果表明Sturmian序列和Thue-Morse序列所对应的连分数和b 进数都是超越数,本文着重分析了同一个序列对应的连分数和b 进数都是超越数的情况.最后,还提出了一些问题.
　　 本文验证了下面的结果:1,任意给定正整数d ≥2和无理数θ，以([nθ ]mod d)n ≥1 为d 进展式系数的实数是超越数.2,对任意的正整数b ≥2和非负整数a＜c＜b，以定义在字母表A={a,c }上的Rudin-Shapiro序列和Cantor序列为b 进展式系数的实数都是超越数.3,对任意正整数a＜b，以定义在字母表A={a,b }上的Cantor序列为部分商序列的连分数是超越数.

目录

文摘

英文文摘

声明

1 绪论

2 预备知识

3 超越性准则及其应用

结束语

致谢

参考文献