超平面偶与凸体相交的几何概率

摘要

本文综述了积分几何与几何概率的产生和发展过程，并对积分几何的未来做了一此展望。接着介绍了凸体、超平面、均质积分、平均曲率积分的概念和性质。我们早已知道：平面上，在所有与凸体相交的线偶中，其交点也落入此凸体的概率可以用此凸体的面积和周长表示出来。特别的，当此凸体是圆盘时，这个概率值是一个常数，与圆盘的半径大小无关。这是一个很优美的结果。那么这样的结果能否推广到了n维空间中呢?这就是本文主要讨论的问题。
　　 在解决这一问题时，首先用由活动标架法得到的线性空间的运动密度公式得出超平面偶的运动不变密度公式，然后我们利用凸体的均质积分的概念及性质对这些密度进行研究，分别得出与凸体相交的超平面偶的测度、超平偶的交也与此凸体相交的测度，从而解决了这一概率问题，并得到一系列相应的推论，丰富了积分几何与几何概率理论成果。
　　 除此之外，本文进一步讨论了n维空间中相交线偶的交点落入凸体的概率。在讨论这一问题时，也是先利用活动标架法得出相交线偶的运动密度公式，然后求出相应的测度：相交线偶与凸体相交的测度、其交点落入凸体的测度。然而前者是至今未解决的难题，有待于进一步探究。但是我们可以利用积分几何的思想得出该测度的计算公式，从而为解决这一问题奠定了理论基础。

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文摘

英文文摘

声明

1绪论

2超平面偶的运动公式

3超平面偶与凸体相交的几何概率

全文总结

致谢

参考文献