对称L´evy过程驱动的动力系统的若干问题研究

摘要

随机动力系统作为一种适宜的数学模型用来刻画受到随机因素影响的复杂系统.平均首次逃逸时问题，静态概率密度和与时间有关的概率密度作为确定性的工具用来定性研究随机动力系统的行为.用分析和计算相结合的方法去研究对称L′evy驱动的非线性动力系统的平均首次逃逸时问题和分叉.更进一步的研究了对称L′evy加性噪声下的二维系统的平均首次逃逸时问题.大量的数值试验说明了我们选用的数值算法的有效性。
　　具体的，我们考虑对称L′evy加性噪声下的双并函数系统dXt=(-Xt+X3t)dt+dLαt，X0=x,和对应的平均首次逃逸时u(x)的方程，u(x)应满足的方程是一个奇异微分-积分方程.
　　用数值分析的方法去分析研究跳测度，扩散系数对平均首次逃逸时的影响.设计并校对了一种解奇异微分-积分方程的数值方法.接着对乘性噪声下的随机动力系统也讨论了相应问题.
　　随机分叉理论，确切地说随机微分方程的分叉理论是随机动力系统研究中的一个重要现象.对理解随机因素“质的改变”是一个重要的课题.用数值的方法去研究一个简单的在非高斯对称L′evy过程下的动力系统的分叉.具体是研究随机过程解轨道的静态概率密度随参数的变化.这个静态概率密度是通过一个非局部Fokker-Planck方程获得的，这就使得我们可以用数值方法去研究现象分叉（P-分叉).目前已有的结果都是考虑高斯噪声的情形，本文考虑在非高斯对称L′evy过程下的分叉现象.随着系统参数的变化，数值实验结果显示出静态密度发生的分叉现象.并且讨论了与时间有关的Fokker-Planck方程和系统随时间的演化过程.
　　最后将上述的数值设计方法应用于更高维的系统，并考虑一个加性噪声下的二维系统dXt=f(Xt,Yt)dt+dLt，X0=x,dYt=g(Xt,Yt)dt+dLt，Y0=y,和对应的平均首次逃逸时u(x,y)应满足的方程，这个方程实际上对应一个二阶偏椭圆型的微分-积分方程.利用数值仿真的结果去研究平均逃逸时随参数的改变而发生的变化。

目录

声明

目 录

引 言

1 预备知识

1.1 Lévy 过程简介

1.2 -稳定的 Lévy 过程Lt

1.3 Lévy 过程驱动的随机动力系统

1.4 随机动力系统中的几个重要的概念

2 对称Lévy加性噪声下的平均首次逃逸时问题

2.1 问题的提出

2.2 Lévy过程的生成元

2.3 平均逃逸时

2.4 数值方法的设计

2.5 校正和核对

2.6 双井系统

2.7 逃逸概率问题

3 对称Lévy乘性噪声下的平均首次逃逸时问题

3.1 Lévy过程的生成元

3.2 平均逃逸时

3.3 另一类乘性方程

3.4 结果分析

4 对称Lévy噪声下随机动力系统的现象分叉

4.1 研究背景

4.2 研究目标

4.3 加性噪声下的分叉

5 加性噪声下的概率密度演化

5.1 研究背景和问题的提出

5.2 含奇异积分项的偏微分方程的离散化

5.3 数值试验

6 对称 Lévy 加性噪声下的二维系统的平均首次逃逸时

6.1 问题的提出

6.2 数值方法的设计

6.3 校正和核对

6.4 二维系统的数值仿真

7 工作总结和展望

7.1 主要结论

7.2 后续研究

致 谢

参考文献

攻读博士学位期间发表和完成的论文目录