两类流体方程的均质化和数值解

摘要

在复合材料,物理,机械,工程,晶体结构,原子反应堆设计等领域的研究中,通常要研究具有周期结构的介质上的初边值问题,而且该介质的周期相对于介质的全局尺度来说是比较小的,这使得从理论上研究方程解的收敛性和从数值计算上求解遇到了很大的困难,均质化方法的提出克服了上述难点,该方法的主要思路是将原来的方程转化为均质化的方程来求解.目前均质化方法主要包括多尺度渐近展开法,能量法,两尺度收敛方法和随机方法等.本文主要基于均质化的方法研究两类流体方程:Stokes方程和彗星流方程.
　　本文的第一个工作描述了多孔介质上的Stokes方程的数值计算步骤:首先对方程进行均质化得到均质化的结果,然后利用混合有限元方法给出求解单元格上的Stokes方程的数值计算方法,最后对有限元离散得到的代数系统进行求解,本文采用Uzawa共轭梯度算法给出了数值计算结果.
　　本文的第二个工作研究了带强外场的线性彗星流方程的均质化:首先针对带强磁场的线性彗星流方程给出了均质化的结果,然后对带强电场和强磁场的线性彗星流方程给出了均质化的方程,进而给出了带强电场的一维线性彗星流方程的均质化结果,最后采用分裂方法和加权的本质非震荡的多项式插值方法,对一维线型彗星流问题的均质化方程给出了数值计算结果.

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1 绪　论

1.1 均质化问题与研究方法

1.2 多孔周期介质上的Stokes方程问题描述

1.3 带强外场的彗星流方程问题描述

1.4 本文的工作和安排

2 准备知识

2.1 函数空间和常用记号

2.2 两尺度收敛的主要结果

2.3 彗星流方程的主要性质

3 多孔介质上Stokes方程的均质化和数值解

3.1 混合有限元法和均质化结果

3.2 多孔介质上Stokes方程的数值计算

4 带强外场的线性彗星流方程的均质化和数值解

4.1 带强磁场的线性彗星流问题的均质化

4.2 带强磁场和强电场的线性彗星流问题的均质化

4.3 带强电场的一维线性彗星流问题的均质化

4.4 一维线性彗星流问题的数值模拟

5 结果分析与讨论

5.1 结果分析

5.2 进一步工作

5.3 结束语

致谢

参考文献