强阻尼波动方程吸引子的熵估计

摘要

在本文中,我们主要考虑无界区域上的无穷维动力系统的吸引子的熵的估计。
　　无穷维动力系统的基本问题是考虑耗散性发展型偏微分方程的解半群在适当的Banach空间或完备的度量空间中的全局吸引子的存在性以及揭示全局吸引子的几何拓扑性质。在证明了全局吸引子的存在性后,一个自然的问题就是对其特性做进一步的分析,以期能够更多地了解无穷维动力系统的本质特征。近二十年来,耗散系统的全局吸引子的分析性质和几何拓扑性质的刻画一直受到人们的高度关注。例如,V.Chepyzhov、M.A.Efendiev、A.Ilyin、M.Vishik等人做了许多关于维数估计和吸引子的复杂性的工作。
　　在相空间的区域是有界域的情形下,许多方程例如反应扩散方程的吸引子有有限的Hausdorff维数和分形维数,而相对于有界区域,无界区域的情形要更为复杂。此时,我们不能得到一个动力系统限制在吸引子上是有限维的这种理想的结论,即分形维数不是一个能方便描述吸引子大小的数量特征。然而,吸引子显然要比相空间“薄”,从某种意义上说,限制系统可以用更少的自由度,所以人们利用吸引子的Kolmogorovε-熵,来描述吸引子的“厚度”。
　　我们以强阻尼半线性波方程为具体的案例,即:
　　{uttαutu+βut=f(u)+g(x),t>0,x∈Rn,u(0,x)=u0(x),ut(0,x)=v0(x),x∈Rn.
　　由于相空间的区域是无界区域,为了包含常值解以及行波解等一些特殊形式的解,我们将采用局部一致空间作为相空间,在局部一致空间上估计吸引子的熵的上下界。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

1 绪论

1.1 研究背景

1.2 研究现状

1.3 本文的结构安排

2 预备知识

2.1 吸引子

2.2 熵

2.3 局部一致空间

3 熵估计

3.1 解的估计

3.2 不稳定流形和熵的下界

3.3 熵的上界

致谢

参考文献