随机微分方程皮卡迭代的Cr收敛

摘要

自伊藤清首次提出随机微分方程的概念以来,随机微分方程引起了很多数学工作者的重视。作为一种分析工具,随机微分方程在数学、金融学、生态学等领域发挥着越来越重要的作用,极大地推动着社会的发展。因此,对随机微分方程相关理论的研究是非常必要的,而方程的解的问题在诸多理论中占有非常重要的地位。
　　假设经典伊藤随机微分方程的系数是()r1≤r<∞次连续可微的函数,且所有一阶偏导数有界,那么该微分方程的解是关于初值的r1C类。一般地,我们先证明解的存在性,在有了存在性后,再结合方程自身的特点去证明解的可微性,并且解的存在性是容易证明的,但是证明解关于初值的可微性很困难。本文给出了一个证明解的可微性的相对简单的方法,在一个完备的解的空间中,首先说明皮卡迭代是有意义的并且是压缩的,然后利用类似不动点定理的方法,证明皮卡迭代在该空间中Cr收敛,从而在证明解的存在性的同时,证明了解关于初值的可微性。
　　本文共分为四个部分,第一部分分析了本文的研究背景和意义。第二部分为基础知识,包括与本文相关的基本概念,基本不等式及基本定理,以为后面的证明做准备。第三部分是本文的重点部分,首先对已有的结果作综述和分析,在此基础上,给出本文的主要结论和证明过程。第四部分总结本文的主要内容,并指出本文可以进一步研究的方向。

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英文摘要

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1 绪论

1.1 研究背景和意义

1.2 主要内容

1.3 组织结构

2 基本知识

2.1 基本概念

2.2基本不等式

2.3 基本定理

3 随机微分方程皮卡迭代的Cr收敛

3.1 已有研究结果综述及分析

3.2 主要结果及其证明

3.3 结果的讨论

4 总结和展望

4.1 全文总结

4.2 课题展望

致谢

参考文献