马尔科夫切换下随机延迟微分方程数值解的收敛性和稳定性

摘要

本文主要研究带马尔科夫切换的随机延迟微分方程分裂步Theta-Euler算法，讨论了数值解的强收敛性和指数均方稳定性。论文首先从解析解存在唯一、稳定和数值解方法收敛、稳定的角度简单介绍了随机延迟微分方程的当前研究情况。在基本理论的介绍中还给出了一些基本的定理、定义、常用符号和公式。接下来，我们着重讨论了两种theta-Euler方法的数值解强收敛性和指数均方稳定性。
　　若漂移系数 f关于第一个变量满足单边 Lipschitz条件，第二个变量满足全局Lipschitz条件，并且f还满足多项式Lipschitz条件，扩散系数g满足全局Lipschitz条件时，证明了：（1）当θ∈[0,1/2]时，SSTE和SLTE方法在漂移系数f满足额外的线性增长条件下以1/2阶强收敛的；（2）当θ∈(1/2,1]时，SSTE和 SLTE方法是1/2阶强收敛的。
　　若 f和 g还共同满足精确解指数均方稳定的耦合条件时，证明了：（1）当θ∈[0,1/2]，SSTE和 SLTE方法在额外的线性增长条件和步长限制条件下，可以保持数值解的指数稳定性；（2）当θ∈(1/2,1]，SSTE和 SLTE方法是无条件指数均方稳定的。事实上，这两类方法在相应的条件下，不仅是指数均方稳定的，而且对应的Lyapunov指数在步长充分小时将逼近精确解的Lyapunov指数。
　　本文针对带马尔科夫切和带有定延迟的随机微分方程证明了两类theta-Euler方法的强收敛性，还得到了其指数均方稳定性，提高了当前文献中的结果。

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1绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 基本理论研究现状

1.3 符号说明及相关公式

2 带马尔科夫切换的随机延迟微分方程

2.1 马尔科夫链的模拟

2.2 分裂步Theta-Euler方法

3 Theta-Euler方法的强收敛阶

3.1 数值解的P 阶矩有界性

3.2 Theta-Euler方法的强收敛性

4 稳定性分析

4.1 p阶矩指数稳定性

4.2 SSTE逼近{zk}k≥0的指数均方稳定性

4.3 SLTE逼近{yk}k≥0的指数均方稳定性

5 数值实验

致谢

参考文献