k-正则序列的研究

摘要

自动机序列的研究具有重要的理论价值和现实意义,已受到许多学者的关注.然而自动机序列是定义在有限字符集上的,这限制了对它的进一步研究.因此,本文将该有限字符集推广的一个环(可以是无限环)上,并称这种广义的自动机序列为正则序列.
　　第一章,介绍了自动机序列的研究背景和现状,以及本文所研究的主要内容.
　　第二章,给出了代数学理论中的环与域、模论基础等基本知识,以及自动机序列的定义、一些性质和等价刻画.
　　第三章,阐述了k-正则序列的定义,给出了k-正则序列的一些等价刻画,并证明了k-正则序列和k-自动机序列在一定条件下是等价的.我们还研究了正则序列的一些性质,如一个序列是kf-正则的当且仅当它是k-正则的,k-正则序列的增长阶为幂增长等.最后,给出了一些序列,严格证明了它们的正则性.
　　第四章,定义了k-正则幂级数,证明了k-正则序列在卷积的作用下是封闭的,且k-正则序列集在加法和卷积的运算下作成一个环,相应地,k-正则幂级数集在加法和普通乘法的运算下也作成一个环.最后,定义了k-正则序列的逆元,并以一个3-正则序列为例,探讨了它的逆元的正则性.
　　第五章,在Morton和Mourant的结论的基础上,本文证明了任一定义在整数环Z上的序列(s(n))n≥0,若(s(n))n≥0是k-正则的,那么其转换模式序列(s^(n))n≥0也是k-正则的.反之,亦成立.特别地,本文证明了序列(ep(an+b))n≥0的转换模式序列是k-自动机的.

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1 绪论

1.1 引言

1.2 研究内容

2 预备知识

2.1 环与域

2.2 模论基础

2.3 k-自动机序列

3 k-正则序列

3.1 k-正则序列的定义

3.2 k-正则序列的性质

3.3 例题

4 k-正则幂级数

4.1 k-正则幂级数环

4.2 k-正则幂级数的逆元

5 “Fourier”系数的k-正则性

5.1 符号说明和相关引理

5.2 “Fourier”系数的k-正则性

结 束 语

致谢

参考文献