随机Pantograph方程的Heun方法

摘要

随机Pantograph方程又叫做随机比例延迟微分方程．我们知道无论是宏观的疾病扩散，人口增长，经济发展等领域，还是细胞运动，能量传递等微观领域的科学研究，都用到了随机延迟微分方程，所以对随机Pantograph方程的研究也具有重要的意义．随机Pantograph方程在20世纪末得到了巨大的发展，且近年来愈来愈多的受到学者们的关注．由于随机Pantograph方程的解析解很难得到，这就展现出对其数值解及其性质的探索与研究的必要性．目前，应用于求解随机Pantograph方程的数值方法并不丰富，并且Heun方法这种比较实用有效的方法还没有被学者应用于随机Pantograph方程，因此，本文尝试使用Heun方法求解随机Pantograph方程．
　　在文中，Heun方法被应用于求解随机Pantograph方程，方法的收敛性和稳定性得到了分析与研究，并通过数值实验对所得到的研究结果进行了验证．文章由五章组成，第一章为绪论，讲述了本文研究的背景，介绍了随机Pantograph方程解析解与数值解的发展与研究现状，列举出Heun方法的一些应用实例，并且概述文章所做的的工作．在第二章中，针对一般性随机Pantograph方程，我们探讨了Heun方法的收敛性，在分析了其局部截断误差的基础之上，我们得到了该数值方法的均方收敛阶为12．第三章中，针对一般线性随机Pantograph方程，以解析解存在唯一并且稳定作为前提条件，Heun方法的均方稳定性和T-稳定性得到分析，并分别得到了这两种稳定性的充分条件．第四章中，以解析解存在唯一并且稳定为前提，通过引用或构造数值算例，分别进行了数值误差分析与稳定性分析，实验结果以图像的形式得以展现，进而验证了第二章和第三章中所得的结论．全文的总结与展望在第五章中得到体现，同时也指出了本文的不足以及可以进一步研究的地方．

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1 绪论

1.1 研究背景

1.2 随机微分方程发展简介

1.3 本文研究内容与意义

2 Heun方法收敛性

2.1 引言

2.2 Heun方法局部截断误差

2.3 Heun方法收敛性

3 Heun方法稳定性

3.1 引言

3.2 均方稳定性

3.3 T-稳定性

4 数值算例

4.1 数值误差实验

4.2 数值稳定性实验

4.2.1 均方稳定性

4.2.2 T-稳定性

5 总结与展望

致谢

参考文献