等几何分析在拓扑优化中的应用研究

摘要

复杂机电产品核心零部件的静态、动态特性决定产品的整体性能，因此核心零部件更优的结构设计是提高复杂机电产品性能的方法之一。不断试算、校核的传统结构设计方法无法解决这一难题。结构优化设计作为现代产品设计方法之一，因能够求解在满足约束条件下结构的最优设计方案而得到广泛的应用。结构优化设计又分尺寸优化、形状优化和拓扑优化，拓扑优化因能够产生新的拓扑结构而得到广泛的关注和研究。
　　传统水平集法在求解拓扑优化问题时，需要显式求解与形状导数相关的汉密尔顿-雅可比偏微分方程，为了确保数值求解的稳定性需要设计较小的时间步以及反复参数化水平集函数，这降低了拓扑优化问题的求解效率。本文使用参数化水平集法求解拓扑优化问题，将汉密尔顿-雅可比偏微分方程变换为普通偏微分方程，降低了数值求解的难度，弥补了传统水平集法的不足。在实际应用中，大多数的拓扑优化算法都采用传统有限元法进行结构响应分析和灵敏度计算。但是，传统有限元法在计算中存在几点不足。第一，传统有限元法的计算域只是真实计算域的一个近似，模型近似不可避免的带来计算误差；第二，单元之间的连续性低，例如能够保证位移为 C0连续，但是应力则不连续，这降低了计算精度；第三，在使用高阶单元时，传统有限元法的计算效率大大降低。近来发展起来的等几何分析具有较高的模型精度和单元连续性，可以取代有限元法用于优化分析计算。
　　本文将基于等几何分析的参数化水平集法应用于拓扑优化问题的求解中，使用相同的N UR BS描述计算域，参数化水平集函数和表示目标函数，实现几何模型、分析模型和优化模型的三者统一。使用传统模型细分方法和多片技术来提高N URB S构建具有复杂拓扑结构模型的能力，并对多片技术中整体刚度矩阵的计算进行深入的研究。最优结构和结果可视化，都采用插值算法求解得到的零水平集函数表示，对于顶点水平集函数符号不一致的单元提出了一种简单高效的处理方法。本文将从计算域的NURBS描述、等几何分析的计算步骤以及参数化水平集三个方面讨论拓扑优化问题的求解过程。最后使用本文的拓扑优化方法求解经典拓扑优化问题，并与传统优化方法的优化结果对比，证明了本文方法的有效性和高效性。

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1 绪论

1.1 研究来源目的及意义

1.2 等几何分析及水平集法国内外研究现状

1.3 本文主要研究内容及结构

2 计算域建模及细分方法

2.1 计算域的NURBS建模

2.2 计算域的细分方法

2.3 本章小结

3 基于NURBS的等几何分析

3.1 IGA模型及求解方法

3.2 IGA中边界条件的处理方法

3.3 IGA中刚度矩阵的计算

3.4 IGA计算实例

3.5 本章小结

4 基于IGA的 PLSM在拓扑优化中的应用

4.1 优化模型的水平集表示

4.2 水平集函数的NURBS参数化

4.3 基于PLSM拓扑优化问题中的等几何分析

4.4 本章小结

5 算例分析

5.1 悬臂梁

5.2 Michell结构

5.3 L型梁

5.4 本章小结

6 总结与展望

6.1 总结

6.2 展望

致谢

参考文献