几类非局部偏微分方程解的渐近性态及其应用

摘要

偏微分方程理论是数学研究的重要分支之一，而且在数学物理及其他众多学科之中具有广泛的应用背景。本文主要研究了几类非局部偏微分方程解的渐近性态及其应用。
　　首先，我们介绍了非局部偏微分算子及其对应的非局部偏微分方程，说明了非局部偏微分方程与经典偏微分方程的不同之处，以及非局部偏微分方程研究本身的重要性。此外，我们罗列了几类重要的非局部算子，分析了相关性质及其特点。
　　其次，我们讨论了一类跳跃过程转移密度函数的短时间上界估计。我们把问题转换为对一类小跳有慢增函数扰动、不可伸缩的对称非局部算子的研究。为了得到转移密度函数估计，我们的处理办法是将对角线估计与非对角线估计分开处理。首先，通过建立新型Dirichlet型估计以及相应的Nash不等式，我们得到了对角线估计的上界。然后，利用Davies方法，我们得到了非对角线估计。
　　然后，我们考虑了另一类不具有对称性的，由层稳定过程生成的非局部算子。区别与文献中概率的处理方法，我们用分析的方法研究了由层稳定过程导出的非局部偏微分方程的柯西问题，得到了解的长时间与短时间渐近性态。此外，我们对方程进行局部化，得到了相关的误差估计。
　　此外，我们研究了非局部偏微分方程在期权定价问题中的应用。我们用纯跳跃模型取代扩散跳跃模型来模拟价格变化，研究了欧式期权价值函数满足的线性非局部偏微分方程、和美式期权价值函数满足的非线性非局部偏微分方程（非局部障碍问题）。我们主要应用分数阶热核估计，不动点定理和惩罚函数方法，分别得到了欧式期权价值函数uE和美式期权价值函数uA在经典H¨older空间中的存在性和正则性。
　　最后，我们分别在L2型和Lp型空间中研究了一类含非局部算子的广义BBM方程。在一维环面上，我们研究比现有文献中更为复杂，广泛的耗散项，并得到了相应方程的周期初值问题的局部适定性。

目录

声明

1 绪论

1.1 研究背景

1.2 分数阶拉普拉斯算子

1.3 莱维过程与积分-微分算子

1.4 本文研究的内容

2 一类跳跃过程转移密度的上界估计

2.1 引言

2.2 假设和预备引理

2.3 对角线的上界估计和Nash型不等式

2.4 非对角线的上界估计

3 一维非对称层稳定过程的渐近行为及对应方程的渐近性态

3.1 引言

3.2 层稳定过程

3.3 抛物型偏微分-积分方程解的长时间行为

3.4 PIDE解的小时间渐近行为

3.5 小时间渐近行为的进一步讨论

4 非局部偏微分方程在期权定价问题中的应用

4.1 背景

4.2 模型介绍

4.3 假设与预备引理

4.4 欧式期权定价问题价值函数的正则性

4.5 美式期权定价问题

5 L2型空间中一类广义BBM方程的局部适定性和渐近行为

5.1 引言

5.2 局部适定性

5.3 解的渐近行为

6 Lp型空间中一类广义BBM方程的局部适定性

6.1 引言

6.2 Sobolev空间和乘积估计

6.3 局部适定性

6.4 进一步的结果

7 总结和展望

7.1 核函数估计

7.2 期权定价中应用

7.3 广义BBM方程

致谢

参考文献

附录1 攻读博士学位期间完成的论文

附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目