Lüroth展式中最大Run-Length函数的渐近性质

摘要

本文主要研究了Lüroth展式中最大run-length函数的渐近性质. 在1970年,Erd(o)s和Rényi[1]得到了关于二进制展式中run-length函数Zn的渐近增长速度的大数定律.随后,Erd(o)s和Révész[2]对函数Zn的增长速度做了更为精细的估计,该结论可以自然地推广到一般N进制展式中.N进制展式对应于有限符号系统.本文中,将给出一类无穷符号系统—Lüroth系统中最大run-length函数的增长速度的精确估计. 本文一共分为三章,前两章中介绍了相关的研究背景和预备知识.第三章是本文的主体部分,研究了Lüroth系统中最大run-length函数的增长速度.为了便于表述,先引入记号ln(x). 记x∈(0,1]的Lüroth展式为x=[a1(x),a2(x),…,ak(x),…],称ln(x)=maxj≥2{k:ai+1(x)=…=ai+k(x)=j,0≤i≤n-k}为Lüroth展式中的最大run-length函数,它表示Lüroth展式前n项中最长的连续相同字符片段的长度. 对任意的ε＞0,证明了 （1）对几乎所有的x∈(0,1],存在N=N(x,ε),使得当n≥N时,ln(x)≥[log2n-log2log2log2n+log2log2e-2-ε]; （2）对几乎所有的x∈(0,1],存在一个无穷的整数序列Ni=Ni(x,ε)(i=1,2,…),使得lNi(x)＜[log2Ni-log2log2log2Ni+log2log2e-1+ε]. 其中,[z]表示不大于实数z的最大整数,e表示自然对数的底数.

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