Lorenz系统的有限差分格式的长时间行为

摘要

本文主要讨论Lorenz系统．在这种耗散型的动力系统中，吸引子的存在性是动力系统最重要的特征之一，动力系统的长时间行为完全由吸引子所决定．本文首先介绍了Lorenz系统的特点和国内外的研究成果，并且给出了方程组中的参数的物理意义．由于原方程组是一个非线性的常微分方程组，直接求解难度很大，这就要求使用数值解法．在第二章中首先将原方程组变形，然后利用差分法对其进行离散化，构造了Euler隐格式和crank-Nicolson格式．Euler隐格式的局部截断误差是一阶精度，而Crank-Nicolson具有二阶精度．然后利用不动点定理，我们得到了差分解的存在性．在第三章差分格式解的先验估计的基础上，我们在第四、五章中给出了对应的两个差分格式的稳定性和差分解的收敛性．在第六章中讨论了两种格式的长时间行为，证明了这两个格式所生成的动力系统都存在吸引集和整体的吸引子．最后，第七章，我们进行了数值模拟．

目录

文摘

英文文摘

声明

一些基本概念

第1章绪论

1.1 Lorenz系统研究的背景

1.2本章小结

第2章引理及有限差分格式

2.1一些引理

2.2 Euler隐格式及差分解的存在性

2.3 Crank-Nicolson格式及差分解的存在性

2.4本章小结

第3章差分格式的长时间行为

3.1 Euler隐格式解的一致的先验估计

3.2 Crank-Nicolson格式解的一致的先验估计

3.3本章小结

第4章Euler隐格式的稳定性和收敛性

4.1 Euler隐格式的稳定性

4.2 Euler隐格式解的收敛性

4.3本章小结

第5章Crank-Nicolson格式的稳定性和收敛性

5.1差分格式的稳定性

5.2 Crank-Nicolson格式解的收敛性

5.3本章小结

第6章离散动力系统的长时间行为

6.1离散动力系统的长时间行为

6.2本章小结

第7章数值模拟

7.1数值模拟

7.2本章小结

结论

参考文献

致谢