Hamilton ODEs的高效辛算法和Hamilton PDEs的多辛算法

摘要

这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果.具体内容是我们关于Hamiltonian ODEs的高效辛算法和Hamiltonian PEDs的多辛积分子的一些结果,以及它们在实际中的应用.针对Hamiltonian ODEs的数值计算,中国已故科学家冯康和美国科学家Ruth于80年代创立了辛几何算法.相关的理论分析和大量数值结果表明该方法对Hamilton ODEs的计算是适合和有效的,尤其是对它们进行长期跟踪计算时,优势更为明显.我们分析了辛算法在实际中的应用.一般说来,生成函数法可能会出现高阶导数项,这使得它在实际应用中受到很大的限制.因此现在实际应用中,人们很大程度上依赖于RK(PRK)方法,生成函数法只是提供理论上的工具.我们知道,对于不可分Hamilton系统而言,辛RK(PRK)法必然为隐式的,而隐式RK方法在实际应用中,运算量都是非常惊人的,尤其是在高阶的水平上,更是令人难以实现.所以辛RK(PRK)方法的在实际的应用,一直以来都局限在低阶的方法上,高阶方法大都以理论结果给出.但是如果一个隐式RK(PRK)方法的系数矩阵仅有实特征值,一个基于Butcher和Bickart的技巧可以大大的减少其在实际应用中的运算量.基于上述原因,我们考虑了这种具有实特征值的高效辛RK法和辛PRK法.我们首先证明了一个s级的上述方法的阶p≤s+1,尤其是一个s级的辛RK法,当s是偶数时,它不可能达到s+1阶,而当s是奇数时,则没有此阶障碍的限制.同时,我们也指出一个s级的辛PRK法它的阶完全可以达到s+1.接着,我们又证明了,在高阶的水平上,无论是这种辛RK法还是辛PRK法,它们的运算效率都不能和相应阶的辛组合方法相媲美.我们最近的研究工作又表明,组合方法又会带来诸如稳定性方面的问题.最后,我们推荐了一些低阶的高效格式.建立在Bridges意义上的多辛Hamilton系统的多辛算法被证明深刻反映了系统的本质.在Reich研究工作的基础上,我们把PRK方法应用到这种多辛Hamiltonian PDEs上,给出了它是多辛的一些充分条件,同时,对这种多辛PRK法关于线性能量和动量的保持也作了相应的探讨,这些都在一定程度上发展和拓广了现有的结果.

目录

文摘

英文文摘

第1章绪论

第2章基础知识

2.1 Hamilton系统与辛几何

2.2多辛几何与多辛Hamilton系统

第3章Hamilton系统的辛算法

3.1辛积分子和生成函数法

3.2辛RK方法和辛PRK方法

3.3辛RK(PRK)方法的构造

3.4组合方法

3.5本章小结

第4章高效辛算法

4.1引言

4.2辛RK方法在实际中的运用

4.3具有实特征值的辛RK方法和辛PRK方法

4.4一类高效辛算法

4.5本章小结

第5章Hamiltonian PDEs的多辛算法

5.1引言

5.2 Hamiltonian PDEs的多辛PRK方法

5.3本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢