大型有限元模型计算中的复特征值问题的研究

摘要

随着高新技术在航天领域的不断应用和发展,航天器的尺寸越来越大,结构越来越复杂。这种复杂的结构极易受到外界及结构本身扰动的影响而发生振动,强烈的振动将影响系统有效载荷的正常工作,导致系统性能下降甚至破坏。所以许多结构都需要采用附加约束阻尼层等措施来提高其结构阻尼。分析阻尼结构振动最主要的手段是复模态分析方法,即通过求解复特征值问题来确定系统的固有频率和损耗因子。本论文重点研究含阻尼结构的复模态分析算法,并编制高效的计算机程序来实现算法,为开发有自主知识产权的有限元求解器奠定基础。本文首先对子空间迭代法、乘幂法和逆幂法、Lanczos方法和QR方法等几种特征值的求解算法进行了深入分析和比较,给出了各种算法的优缺点及其适用范围。并据此提出了本论文重点研究的Lanczos-QR迭代方法。Lanczos-QR迭代方法结合了Lanczos算法快速高效的优点和QR方法稳定可靠的优点。针对大规模矩阵问题,采用了改进的截断Lanczos迭代方法对矩阵进行降阶,得到一个包含了原矩阵低阶特征值的三对角矩阵。针对实矩阵含有复特征值的问题,采用了双重步位移QR方法求解降阶后的实三对角矩阵的全部特征值和特征向量。本文利用FORTRAN语言实现了这一针对大型复杂结构模态分析的计算方法。并通过一个标准约束阻尼梁和一个复杂的卫星结构对算法和程序进行了验证,通过与实验结果和航天上应用广泛的NASTRAN软件分析的结果的比较表明,本算法及其程序具有较高的精度和较快的收敛速度。

目录

摘要

Abstract

第1章 绪论

1.1 课题背景及其理论与实际意义

1.1.1 课题背景

1.1.2 课题研究的目的和意义

1.2 研究现状

1.2.1 求解特征值问题的变换方法

1.2.2 求解特征值问题的向量迭代法

1.2.3 发展现状

1.3 本文的主要研究内容

第2章 特征值求解算法

2.1 子空间迭代法

2.1.1 算法思想

2.1.2 计算步骤

2.1.3 适用范围

2.2 乘幂法和逆幂法

2.2.1 乘幂法

2.2.2 逆幂法

2.2.3 矩阵压缩

2.3 Lanczos 方法

2.3.1 求解非对称标准特征值问题的基本Lanczos 算法

2.3.2 Lanczos 算法的适用范围

2.4 QR 方法

2.4.1 QR 算法的基本思想

2.4.2 具有原点位移的QR 算法

2.4.3 双重步QR 算法

2.5 本章小结

第3章 大型矩阵特征值求解的Lanczos-QR 算法

3.1 奇异矩阵问题及解决方案

3.2 改进的Lanczos-QR 算法

3.2.1 改进的Lanczos 方法

3.2.2 求解思路

3.2.3 算法实施步骤

3.2.4 算法的一些说明

3.3 文件读取及矩阵存储

3.3.1 二进制文件读取

3.3.2 稀疏矩阵存储

3.4 求解特征向量

3.4.1 化复特征向量求解为实数运算

3.4.2 求解齐次线性方程组

3.4.3 理论依据

3.5 本章小结

第4章 数值算例

4.1 实特征值数值算例

4.1.1 问题描述

4.1.2 计算结果

4.1.3 结果分析

4.2 复特征值计算算例

4.2.1 问题描述

4.2.2 计算结果

4.2.3 结果分析

4.3 大型特征值算例

4.3.1 问题描述

4.3.2 计算结果

4.3.3 结果分析

4.4 本章小结

结论

参考文献

附录设计说明书

1 编写目的

2 软硬件环境

3 总体设计方案

4 算法实现

5 输入、输出设计方案

6 交互设计

7 尚未解决的问题

致谢