求解积分方程的一种新方法及其应用

摘要

反问题广泛存在于各学科领域之中，在地球物理、数字图像处理、生命科学、材料科学、遥感技术等众多领域中，许多反问题可归结为第一类Fredholm积分方程。而常微分方程与偏微分方程的定解问题也可以化为等价的积分方程，解偏微分方程反问题的数值方法，也常常导出第一类Fredholm方程。由于此类问题有着广泛而重要的应用背景，其理论又具有鲜明的新颖性与挑战性，因而吸引了国内外学多学者从事该项研究。
　　反问题常常是不适定的，这给问题的求解带来了困难，若不用特殊的方法求解，将得到不合理的答案。因此许多学者提出了各种求解反问题的方法，比如脉冲谱方法，最佳摄动量法，蒙特卡罗方法，各种优化方法和正则化方法等。其中最具普适性、在理论上最完备且行之有效的方法，就是正则化方法（或策略），这些方法是由Tikhonov和Phillips于20世纪60年代初分别、独立提出的，并在后来得到了深入的发展。
　　基于Phillips的正则化理论框架，对反问题所导出的第一类Fredholm方程进行了研究，主要做了以下工作：
　　1．提出了一种多重约束的正则化方法，通过加入多重约束，提高了求解的精度及稳定性。
　　2．将多重约束正则化方法应用于结构参数识别，并对正则参数的选取进行了一定研究。数值模拟结果表明，方法是可行的，并且对于各种结构参数的识别具有不同程度的有效性。
　　3．将多重约束的思想应用于图像复原技术，并建立了基于多重约束的自适应VanCittert迭代格式。仿真试验表明该方法有效的控制了复原过程中的噪声，并克服了问题的病态性。

目录

求解积分方程的一种新方法及其应用

A NEW METHOD FOR SOLVING

摘要

Abstract

第1章 绪论

1.1 课题背景

1.2 国内外在该方向的研究现状及分析

1.3 本文的主要工作

第2章 反问题与正则化方法

2.1 微分方程反问题的有关理论

2.1.1 微分方程反问题理论的发展概况

2.1.2 反问题的不适定性

2.1.3 求解第一类算子方程的基本思想

2.2 多重约束正则化方法

2.2.1 理论方法

2.2.2 数值模拟计算

2.2.3 讨论

2.3 本章小结

第3章 基于正则化方法的故障结构刚度参数识别

3.1 结构参数识别中的微分方程反问题理论

3.1.1 反问题的提法及其方程的转换

3.1.2 摄动法

3.1.3 分离法

3.1.4 微分方程反问题的扰动迭代法

3.2 含故障杆的刚度识别模型

3.3 采用多约束正则化方法进行数值模拟

3.4 本章小结

第4章 基于正则化方法的图像复原

4.1 系统退化模型

4.1.1 图像退化数学模型

4.1.2 离散图像退化的数学模型

4.2 正则化图像复原

4.2.1 正则化图像复原的思路

4.2.2 自适应正则化参数

4.2.3 基于方向信息测度的约束

4.2.4 多重约束的自适应Van Cittert迭代格式

4.2.5 仿真试验结果及分析

4.3 本章小结

结论

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

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致谢