几类反应扩散系统的稳定性和分支

摘要

在生态学、传染病学和化学等领域,许多种群模型和化学模型都可以由(时滞)反应扩散系统描述。众说周知,研究系统的分支问题并分析它们的动力学行为是微分方程领域极其重要的热门研究课题之一。分支(主要针对结构不稳定的系统)是指当参数在某一临界值附近作微小变化时,系统的定性结构和拓扑结构都会产生质变,主要包括动态分支和静态分支。研究某些参数(如扩散系数、种群繁殖期和反馈时滞等)对系统动力学行为的影响(包括平衡态稳定性以及分支情况等)在理论和实践方面都有很好的指导意义。
　　本文主要利用偏(泛函)微分方程中心流形定理、规范型方法、Hopf分支以及全局稳态分支等理论,并结合抛物方程极值原理、比较原理等数学方法,针对几类具扩散和时滞的化学模型和具不同功能反应项的捕食被捕食模型进行了深入的研究,主要工作归纳如下:
　　(1)结合一般反应扩散系统的局部Hopf分支定理和全局稳态分支定理,研究了具扩散项的耦合Brusselator模型常值平衡点的稳定性以及齐次和非齐次周期解的存在性;结合先验估计和解的存在性和不存在性给出该系统全局稳态分支的存在性;最后讨论了Hopf分支和稳态分支的相互影响。
　　(2)研究了具Dirichlet边界条件的Brusselator系统在扩散和局部反馈控制双重影响下的动力学行为。结果表明扩散导致Turing分支的发生。当时滞穿过一系列临界值时,唯一的常值共存态在一定条件下经历有限次稳定开关,从稳定到不稳定再到稳定,最终不稳定。结合中心流形和规范型方法得到由Hopf分支产生的非齐次周期解的性质,并用大量的数值模拟验证分析结果。
　　(3)利用特征方程和超越方程根的分布,并结合极值原理、比较原理等方法研究Neumann边值条件下几类具扩散项的时滞捕食被捕食系统的动力学行为。在一定条件下证明Holling-III类系统边界平衡点的全局渐近稳定性以及不含时滞的比率型系统的耗散性和一致持久性。然后讨论了时滞和扩散对系统的影响:当时滞穿过临界值时,空间齐次和非齐次周期解从正共存态分支出来;最后讨论了Hopf分支的性质。
　　(4)结合隐函数定理和特征根分析等理论和方法研究了互惠的时滞反应扩散系统在零Dirichlet边值条件下下临界正稳态解的存在性和不稳定性(由于特征方程系数与空间变量有关,分析起来较困难)。并以时滞为参数,证明在临界值处从向后的非常值正稳态解分支出向前的Hopf分支。

目录

cover

摘 要

ABSTRACT

目 录

Contents

第 1 章 绪论

1.1 课题研究背景及意义

1.2 问题研究现状

1.3 本文结构和主要工作

第 2 章 具扩散项的耦合 Brusselator 模型的分支分析

2.1 引言

2.2 稳定性及 Hopf 分支分析

2.2.1 一般的反应扩散系统的 Hopf 分支

2.2.2 具扩散项的耦合 Brusselator 系统的稳定性及 Hopf 分支

2.3 全局稳态分支

2.3.1 一般的反应扩散系统的全局稳态分支

2.3.2 耦合 Brusselator 模型的全局稳态分支

2.4 本章小结

第 3 章 具时滞反馈的扩散 Brusselator 模型分支分析

3.1 引言

3.2 Turing 不稳定性和 Hopf 分支分析

3.2.1 系统不含时滞时的动力学行为

3.2.2 由时滞导致的 Hopf 分支和稳定开关

3.3 空间非齐次 Hopf 分支的方向及稳定性

3.4 数值模拟

3.5 本章小结

第 4 章 几类具扩散的时滞捕食-食饵模型动力学研究

4.1 引言

4.2 具扩散项和时滞的捕食被捕食系统

4.2.1 特征方程分析

4.2.2 空间 Hopf 分支方向及稳定性

4.2.3 数值模拟

4.3 具扩散项和时滞的 Holling-III 类捕食被捕食系统

4.3.1 边界平衡点的全局稳定性和不稳定性

4.3.2 正共存态的稳定性和分支分析

4.4 具扩散项和时滞的比率型 Holling-III 捕食被捕食系统

4.4.1 边界平衡点的全局稳定性

4.4.2 不含时滞的系统的耗散性和一致持久性

4.4.3 正共存态的稳定性及分支分析

4.4.4 Hopf 分支的性质

4.4.5 数值模拟

4.5 本章小结

第 5 章 具时滞和扩散项的互惠系统的下临界稳态解

5.1 引言

5.2 向后的空间非齐次正稳态解的存在性

5.3 特征值分析

5.4 正稳态解的不稳定性

5.5 举例

5.6 本章小结

结 论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文

哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明

致 谢

个人简历