Clifford值函数A-Dirac方程弱解的研究

摘要

近几十年来，关于A-调和方程?divA(x,▽u)=0的理论研究取得了极大的进展，引起了国内外许多数学工作者的兴趣。同时，A-调和方程作为对Laplace方程及一般的二阶线性椭圆型偏微分方程的推广，也得到了许多来自物理学与工程技术领域研究者的广泛关注。Clifford代数是从物理学中发展起来的数学工具，目前被广泛应用于偏微分方程、函数空间理论、微分几何等领域。2011年，Nolder提出基于Clifford值函数空间下的A-Dirac方程DA(x,Du)=0.这类方程正是A-调和方程在高维情形下的推广，它使得A-调和方程有更广泛的应用，同时也使得对相关的物理问题、工程问题的研究可以在更复杂的情况下进行。因此，对A-Dirac方程的研究有着很深刻的理论意义与实际意义，它必将推动了A-调和方程的进一步发展。
　　本文主要研究一类具有Dirichlet边值条件的A-Dirac方程DA(x,Du)=0解的性质，主要研究内容如下：
　　首先，证明了在Clifford值函数Sobolev空间W1,p0(Ω,Cln)下的Poincaré不等式。以微分形式与Clifford值函数之间的关系为工具，得到了在空间W1,p(Ω, Cln)下与单演函数相关的非耦合的Clifford值函数的Poincaré类型积分不等式。
　　其次，研究了在Clifford值函数空间W1,p(Ω,Cln)下A-Dirac方程的解的性质。通过对障碍问题的研究得到了具有Dirichlet边值条件的A-Dirac方程的数量解的存在性，并通过研究数量解与整体解的关系得到了整体解的存在性与唯一性。进一步，证明了关于障碍问题解的高阶可积性与稳定性问题。
　　在此基础上，研究了关于A-Dirac方程很弱解的性质。利用关于Clifford值函数Lebesgue空间直和分解定理，证明了当算子A满足一定的结构条件时， A-Dirac方程很弱解的正则性以及当边值函数收敛时，很弱解的收敛性问题。
　　最后，研究了非标准增长类Young函数以及G(p,q,C)类Young函数，根据这两类函数不同的性质分别给出了它们在Orlicz空间中对Clifford值函数作用的Poincaré类型积分不等式。分别证明了在Orlicz空间中与这两类Young函数相关的极大算子、Teodorescu算子以及它们的复合算子的范数不等式。

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第1章 绪论

1.1 Clifford代数的来源及背景

1.2 A-Dirac方程的研究背景

1.3 A-调和张量的经典不等式的发展

1.4 A-Dirac方程的研究成果及现状分析

1.5 本文的主要内容及结构

第2章 Clifford值函数的基本性质及Poincaré类型不等式

2.1 Clifford代数的基本知识

2.2 Clifford值函数空间理论

2.3 关于Clifford值函数的Poincaré不等式

2.4 本章小结

第3章 A-Dirac方程的弱解的存在性和稳定性

3.1 A-Driac方程弱解的存在性及唯一性

3.2 A-Dirac方程弱解的高阶可积性

3.3 A-Dirac方程弱解的稳定性

3.4 本章小结

第4章 A-Dirac方程很弱解的正则性及收敛性

4.1 关于Clifford值函数Lebesgue空间分解的基本知识

4.2 A-Dirac方程很弱解的正则性

4.3 A-Dirac方程很弱解的收敛性

4.4 本章小结

第5章 关于Clifford值函数的Orlicz范数不等式

5.1 与非标准增长函数类相关的积分不等式

5.2 与G(p, q, C)-类函数相关的积分不等式

5.3 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

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