几类具变指数增长椭圆方程解的可去奇性

摘要

偏微分方程中解的奇异性来源于物理学和几何学中的很多实际问题。因此对方程解的奇异性研究，受到国内外学者的高度重视。目前，对解的奇异性研究大部分都在经典的Lebesgue和Sobolev空间理论下进行的，但是，近年来，出现了很多具有非标准增长的问题，例如：电流变流体、非弹性力学、图像恢复等模型。对这类问题进行研究时，具有常指数的Lebesgue和Sobolev空间理论不再适用。因此，在变指数Lebesgue和Sobolev空间理论下研究方程解的奇异性成为必要。
　　本文在变指数Lebesgue和Sobolev空间理论框架下研究了几类椭圆方程解的可去奇性问题。
　　首先，对一类具变指数增长椭圆方程解的孤立奇点进行研究。采用新的迭代技巧，得到方程解在孤立奇点附近的性态；根据已得到解的增长性态构造合适的对数型检验函数，得到方程解的L∞估计；以此为基础给出这类方程解的孤立奇点可去的充分性条件，证明在某种假设条件下解的孤立奇点是可去的。
　　其次，在变指数空间理论下对一类吸收项具有退化因子的散度型椭圆方程解的零奇点可去性问题进行研究。通过构造合适的检验函数并利用Moser迭代的方法，得到方程解在零奇点的邻域内的性态。在此基础上，采用合适的对数型检验函数得到方程解在零奇点的局部有界性，并以此证明在某些特定的假设条件下方程解的孤立奇点零是可去的。
　　然后，对一类具变指数增长椭圆方程解的零容度奇异集进行研究。采用在紧子集中每一个点的邻域内研究解的性质的方法，通过构造合适的检验函数得到解的Caccioppoli估计，在此基础上，证明方程解在奇异集邻域内的有界性，进而，得到方程解的零容度奇异集可去性条件。
　　最后，对更一般的具变指数增长椭圆方程H¨older连续解的紧奇异集的可去性进行研究，借助障碍问题和非负Radon测度的理论给出紧奇异集可去的充分性条件。利用单调算子理论得到有关此类方程障碍问题解的存在性。给出障碍问题解的Harnack估计，并以此证明当障碍连续时，解也是连续的。在此基础上，利用Radon测度的性质，得到当紧集的某Hausdorff测度为零时，方程Holder连续解的紧奇异集是可去的。

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第1章 绪论

1.1 变指数函数空间

1.2 具变指数增长椭圆问题的研究现状

1.3 方程解的奇异性问题的研究背景及现状

1.4 本文的主要研究内容及结构

第2章 一类非线性椭圆方程解的孤立奇点可去性

2.1 引言

2.2 解在孤立奇点附近的性态

2.3 孤立奇点的可去性

2.4 本章小结

第3章 一类吸收项具有退化因子的非线性椭圆方程解的零奇点可去性

3.1 引言

3.2 解在零奇点附近的性态

3.3 解的局部有界性及零奇点可去性

3.4 本章小结

第4章 一类非线性椭圆方程零容度奇异集的可去性

4.1 引言

4.2 方程解的Caccioppoli估计

4.3 零容度奇异集的可去性

4.4 本章小结

第5章 一类椭圆方程H ¨older连续解的紧奇异集可去性

5.1 引言

5.2 障碍问题解的存在性

5.3 障碍问题解的Harnack估计及解的连续性

5.4 H?lder连续解的紧奇异集可去性

5.5 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的学术论文

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