可递李代数胚分类空间的研究

摘要

李代数胚是李代数与流形切丛的推广，它在Poisson几何和非交换几何中有大量的应用。可递李代数胚是它的一个重要分支，是该领域的主要研究内容之一。本文从李代数丛入手，研究了李代数丛经由切丛扩张为可递李代数胚的相关问题、可递李代数胚拉回的同伦不变性、和可递李代数胚的分类空间，同时讨论了可递李代数胚的范畴示性类。所得主要结果如下：
　　首先，研究了李代数丛与切丛间的耦合。Mackenzie在研究李代数胚的扩张问题时引入了耦合的定义，说明了李代数丛可经由切丛扩张为可递李代数胚的必要条件是切丛与李代数丛之间存在耦合。本文给出了判定耦合存在性的充分必要条件，然后定义了耦合之间的等价关系，并且利用从底流形到一个特定分类空间的连续映射的同伦等价类来描述耦合的等价类。
　　其次，说明了用于判定李代数丛可否经由切丛扩张成可递李代数胚的Mackenzie阻碍类具有函子性质。对于单连通流形上的李代数丛及其耦合所对应Mackenzie阻碍类构造了具有万有性质的上同调元素。证明了当李代数丛的底空间是单连通流形时，Mackenzie阻碍类是平凡的，即它是上同调群中的零元素。对于底空间没有限制条件的情况下，证明了当李代数丛的纤维是可约李代数时，其Mackenzie阻碍类也是平凡的。
　　然后，证明了可递李代数胚的拉回具有同伦不变性，建立了从光滑流形范畴到可递李代数胚范畴的同伦函子，讨论了之前所得到的关于耦合与Mackenzie阻碍类的成果对于研究可递李代数胚分类空间的重要作用。说明可以通过函子间的自然变换来定义可递李代数胚的示性类，并且在伴随丛是交换李代数丛的可递李代数胚范畴内定义了一系列示性类，然后与Kubarski推广的李代数胚的Chern-Weil同态所定义的示性类作对比，说明该Chern-Weil同态并不能构造所有可递李代数胚的示性类。

目录

封面

中文摘要

英文摘要

目录

第1章 绪论

1.1 课题背景及意义

1.2 研究现状

1.3 本文的主要工作

第2章 李代数丛与切丛间的耦合

2.1 预备知识

2.2 耦合及其性质

2.3 耦合的分类

2.4 本章小结

第3章 Mackenzie阻碍类及其性质

3.1 预备知识

3.2 Mackenzie阻碍类的函子性质

3.3 单连通情形下的Mackenzie阻碍类

3.4 可约李代数情形下的Mackenzie阻碍类

3.5 本章小结

第4章 可递李代数胚的范畴示性类

4.1 预备知识

4.2 同伦函子T LAg(·)与分类空间

4.3 李代数胚的范畴示性类与Chern-Weil同态定义的示性类相

4.4 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

声明

致谢

个人简历