分段连续型随机微分方程分裂步长θ-法的收敛性和稳定性

摘要

近年来，分段连续型随机微分方程(SEPCAs)作为一类特殊的方程，已经被广泛地应用在经济、控制、信号等众多领域之中。因为这类数学模型无论是在理论上还是在应用上都有着很重要的研究价值，所以引起了广大专家学者的兴趣。但是，由于随机系统的复杂性，很多方程的解析解很难求得，所以研究SEPCAs的数值解法是一个非常有意义的课题。
　　本文主要研究在非全局李普希兹条件下SEPCAs的均方指数稳定性和分裂步长theta方法的收敛性及均方指数稳定性。
　　本论文应用分裂步长theta(SST)方法求解非线性SEPCAs。已经有结论当SEPCAs的漂移系数满足局部李普希兹和单调条件，扩散系数满足全局李普希兹条件时，方程的解析解是存在唯一的。在此条件下，我们证明了若漂移系数还满足单边李普希兹条件，那么SST方法是强收敛的。在证明收敛性时，我们首先证明了SST法的均方有界性，这是证明收敛性的关键。
　　本论文同样研究了在非全局李普希兹条件下SEPCAs和SST方法的均方稳定性。首先我们给出了SEPCAs的解析解均方稳定的充分条件。之后我们证明了此充分条件下，当步长比较小时SST方法保持了解析解的均方指数稳定性，且保持了相同的稳定速率。
　　在论文的这两部分都设计了相应的数值试验，这些具体的算例用来验证每个部分所得到的结果的正确性，同时也反映了参数、步长对数值方法的收敛性及稳定性的影响，使得结果更加形象。