非一致质量的多个体耦合系统的群体行为

摘要

近年来关于生物群体现象的研究越来越多，一方面是由于人们对这种自然现象的好奇，但更重要的是，由于它对人们在机器人群体、人造卫星等领域的研究有着重要的意义以及广泛的应用前景。2007年，Cucker和Smale提出了Cucker-Smale模型解释了动物的群体行为。以前为了方便计算和分析模型，在模型中一般假设各个体的质量都是相等的，然而这并不符合实际。故本文将会考虑在非一致质量情况下的Cucker-Smale模型，并考虑其群体行为。本文的主要研究成果如下：
　　1.研究了非一致质量情况下的Cucker-Smale模型。先是将群体中个体间的影响矩阵标准化。后定义了群体个体间相对速度和相对位置的直径，并给出群体行为的定义。证明了当初始状态下的直径满足一定条件时，非一致质量情况下的Cucker-Smale模型涌现群体行为。
　　2.研究了非一致质量情况下，具有等级领导制的群集在噪音环境下的群体行为。首先，给出了这种情况下群体行为的定义。然后利用一种新的范数以及“误差”系统来研究问题。研究结果表明，先将噪音看成某一种扰动时，证明了在一定条件下系统涌现群体行为。随后考虑了噪音服从均匀分布和高斯分布的情况，估计了有限步迭代后群体达到n-nearly-alignment的概率。