两类随机微分方程基于重积分逼近的Milstein方法

摘要

随机微分方程在具有随机现象的建模中扮演了十分重要的角色，这是传统确定模型所无法取代的。然而在许多随机问题中，计算独立布朗运动生成的随机重积分是十分困难复杂的。尤其在利用传统Milstein方法解决多维噪声驱动的随机微分方程或延迟随机微分方程时，我们都将不可避免的遇到这类问题。
　　本文中，我们首先利用离散累加的思想，提出了一个新的方法来逼近随机重积分。基于新的随机重积分逼近，我们对多维噪声驱动的随机微分方程提出了新的分裂步Milstein方法。其次运用类似的逼近思想，我们对于常延迟随机微分方程提出了新的Milstein方法。
　　接下来，我们分别对两类不同的随机微分方程分析了新数值方法的强收敛阶，并分析其均方稳定性性质。我们的研究过程如下：针对两类方程提出的新的Milstein方法，并证明在一定条件下数值方法维持强收敛阶为1.0.对于多维噪声驱动的随机微分方程，给出了新的分裂步Milstein方法在多维系数情形下，均方稳定的充分必要条件，以及在一维系数情形下，均方稳定的充分条件；对于常延迟随机微分方程，研究了不同参数及步长条件下，均方稳定的充分条件。
　　最终数值实验验证了以上所提出的所有结论，并说明了新的数值方法的有效性以及可靠性。

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究的目的和意义

1.2 随机微分方程数值方法的发展概况

1.3本文主要研究内容

第2章 多维噪声驱动的随机微分方程分裂步Milstein方法的收敛性

2.1 数值方法的提出

2.2收敛性理论证明

2.3 收敛性数值算例

2.4 本章小结

第3章 多维噪声驱动的随机微分方程分裂步Milstein方法的稳定性

3.1 引言

3.2 多维系数下的稳定性分析

3.3 一维系数下的稳定性分析

3.4 稳定性数值算例

3.5 本章小结

第4章 常延迟随机微分方程Milstein方法的收敛性

4.1 数值方法的提出

4.2收敛性理论证明

4.3 收敛性数值算例

4.4 本章小结

第5章 常延迟随机微分方程Milstein方法的稳定性

5.1 引言

5.2稳定性理论证明

5.3 稳定性数值算例

5.4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果

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